Trigonometria Exemplos

$A = 51 °$ , $b = 11$ , $c = 7$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Etapa 2

Resolva a equação.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$a = \sqrt{{(11)}^{2} + {(7)}^{2} - 2 \cdot 11 \cdot 7 \cos (51 °)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

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Etapa 4.1

Eleve $11$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{121 + {(7)}^{2} - 2 \cdot 11 \cdot (7 \cos (51 °))}$

Etapa 4.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{121 + 49 - 2 \cdot 11 \cdot (7 \cos (51 °))}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2 \cdot 11 \cdot 7$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $11$ .

$a = \sqrt{121 + 49 - 22 \cdot (7 \cos (51 °))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 22$ por $7$ .

$a = \sqrt{121 + 49 - 154 \cos (51 °)}$

Etapa 4.4

Avalie $\cos (51 °)$ .

$a = \sqrt{121 + 49 - 154 \cdot 0.62932039}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 154$ por $0.62932039$ .

$a = \sqrt{121 + 49 - 96.91534022}$

Etapa 4.6

Some $121$ e $49$ .

$a = \sqrt{170 - 96.91534022}$

Etapa 4.7

Subtraia $96.91534022$ de $170$ .

$a = \sqrt{73.08465977}$

Etapa 4.8

Avalie a raiz.

$a = 8.54895664$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{11} = \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

Etapa 7

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $11$ .

$11 \frac{\sin (B)}{11} = 11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$11 \frac{\sin (B)}{11} = 11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Avalie $\sin (51 °)$ .

$\sin (B) = 11 (\frac{0.77714596}{8.54895664})$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $0.77714596$ por $8.54895664$ .

$\sin (B) = 11 \cdot 0.09090535$

Etapa 7.2.2.1.3

Multiplique $11$ por $0.09090535$ .

$\sin (B) = 0.99995893$

Etapa 7.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $B$ de dentro do seno.

$B = \arcsin (0.99995893)$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.1

Avalie $\arcsin (0.99995893)$ .

$B = 89.48074467$

Etapa 7.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 89.48074467$

Etapa 7.6

Subtraia $89.48074467$ de $180$ .

$B = 90.51925532$

Etapa 7.7

A solução para a equação $B = 89.48074467$ .

$B = 89.48074467, 90.51925532$

Etapa 8

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$51 ° + C + 89.48074467 = 180$

Etapa 9

Resolva a equação para $C$ .

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Etapa 9.1

Some $51 °$ e $89.48074467$ .

$C + 140.48074467 = 180$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $140.48074467$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 140.48074467$

Etapa 9.2.2

Subtraia $140.48074467$ de $180$ .

$C = 39.51925532$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 51 °$

$B = 89.48074467$

$C = 39.51925532$

$a = 8.54895664$

$b = 11$

$c = 7$