Trigonometria Exemplos

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Etapa 1

Substitua $\cos^{2} (θ)$ por $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) \cot (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.1

Reordene $\sin (θ)$ e $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\sin (θ) \cot (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 2.1.3

Cancele os fatores comuns.

$\cos (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 2.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Etapa 3

Fatore $\cos (θ)$ de $\cos (θ) - \cos^{2} (θ)$ .

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Etapa 3.1

Fatore $\cos (θ)$ de $\cos^{1} (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Etapa 3.2

Fatore $\cos (θ)$ de $- \cos^{2} (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ)) = 0$

Etapa 3.3

Fatore $\cos (θ)$ de $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

Etapa 5

Defina $\cos (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cos (θ)$ como igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $90$ .

$θ = 90$

Etapa 5.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 360 - 90$

Etapa 5.2.4

Subtraia $90$ de $360$ .

$θ = 270$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 5.2.6

O período da função $\cos (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $1 - \cos (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 6.1

Defina $1 - \cos (θ)$ como igual a $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $1 - \cos (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \cos (θ) = - 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $- \cos (θ) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $- \cos (θ) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.2.2.2.2

Divida $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

Etapa 6.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (1)$

Etapa 6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.4.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 6.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 360 - 0$

Etapa 6.2.6

Subtraia $0$ de $360$ .

$θ = 360$

Etapa 6.2.7

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 6.2.7.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 6.2.8

O período da função $\cos (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 360 n, 360 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ verdadeiro.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 360 n, 360 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

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Etapa 8.1

Consolide $90 + 360 n$ e $270 + 360 n$ em $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n, 360 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.2

Consolide $360 n$ e $360 + 360 n$ em $360 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Exclua as soluções que não tornam $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$ verdadeira.

$θ = 90, 270, 360, 450, 630, 720, 810, 990, 1080, 1170, 1350, 1440, 1800, 2160, 2520$ , para qualquer número inteiro $n$