Trigonometria Exemplos

$\tan^{2} (θ) - 1 = 0$

Etapa 1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\tan^{2} (θ) = 1$

Etapa 2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\tan (θ) = \pm 1$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (θ) = 1$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (θ) = - 1$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (θ) = 1, - 1$

Etapa 5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\tan (θ) = 1$

$\tan (θ) = - 1$

Etapa 6

Resolva $θ$ em $\tan (θ) = 1$ .

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Etapa 6.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (1)$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 6.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Etapa 6.4

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 6.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.4.2

Combine frações.

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Etapa 6.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 6.4.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 6.6

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Resolva $θ$ em $\tan (θ) = - 1$ .

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Etapa 7.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (- 1)$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 7.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.4.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 7.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 7.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 7.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 7.6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.6.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 7.6.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 7.6.3

Combine frações.

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Etapa 7.6.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 7.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 7.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.6.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 7.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 7.6.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 7.7

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$