Trigonometria Exemplos

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Etapa 1

Substitua $2 \sec^{2} (θ)$ por $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Etapa 3

Reordene o polinômio.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

Etapa 4

Substitua $u = \tan^{2} (θ)$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

Etapa 5

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Etapa 6

Some $2$ e $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Etapa 7

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2} + 2 u + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $- 1$ de $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Etapa 7.1.3

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore $- 1$ de $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore $- 1$ de $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Etapa 7.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $u^{2} - 2 u - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 7.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Etapa 7.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 9

Defina $u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 9.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 10

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $- (u - 3) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 3, - 1$

Etapa 12

Substitua o valor real de $u = \tan^{2} (θ)$ de volta na equação resolvida.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Etapa 13

Resolva a primeira equação para $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Etapa 14

Resolva a equação para $\tan (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Etapa 14.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Etapa 14.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Etapa 14.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 15

Resolva a segunda equação para $\tan (θ)$ .

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Etapa 16

Resolva a equação para $\tan (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Remova os parênteses.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

Etapa 16.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 16.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\tan (θ) = \pm i$

Etapa 16.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (θ) = i$

Etapa 16.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (θ) = - i$

Etapa 16.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (θ) = i, - i$

Etapa 17

A solução para $- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ é $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Etapa 18

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

Etapa 19

Resolva $θ$ em $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 19.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $60$ .

$θ = 60$

Etapa 19.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 180 + 60$

Etapa 19.4

Some $180$ e $60$ .

$θ = 240$

Etapa 19.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Etapa 19.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{180}{| 1 |}$

Etapa 19.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{180}{1}$

Etapa 19.5.4

Divida $180$ por $1$ .

$180$

Etapa 19.6

O período da função $\tan (θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 20

Resolva $θ$ em $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Etapa 20.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

O valor exato de $\arctan (- \sqrt{3})$ é $- 60$ .

$θ = - 60$

Etapa 20.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = - 60 - 180$

Etapa 20.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.4.1

Some $360 °$ a $- 60 - 180 °$ .

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

Etapa 20.4.2

O ângulo resultante de $120 °$ é positivo e coterminal com $- 60 - 180$ .

$θ = 120 °$

Etapa 20.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Etapa 20.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{180}{| 1 |}$

Etapa 20.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{180}{1}$

Etapa 20.5.4

Divida $180$ por $1$ .

$180$

Etapa 20.6

Some $180$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.6.1

Some $180$ com $- 60$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 60 + 180$

Etapa 20.6.2

Subtraia $60$ de $180$ .

$120$

Etapa 20.6.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 120$

Etapa 20.7

O período da função $\tan (θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 21

Resolva $θ$ em $\tan (θ) = i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (i)$

Etapa 21.2

A tangente inversa de $\arctan (i)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 22

Resolva $θ$ em $\tan (θ) = - i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (- i)$

Etapa 22.2

A tangente inversa de $\arctan (- i)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 23

Liste todas as soluções.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 24

Consolide as soluções.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Consolide $60 + 180 n$ e $240 + 180 n$ em $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 24.2

Consolide $120 + 180 n$ e $120 + 180 n$ em $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$