Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

Etapa 2

Subtraia frações.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ .

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{1}{\csc (θ) + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ .

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ por $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1}{\csc (θ) + 1}$ por $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\csc (θ) + 1 - (\csc (θ) - 1)}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) - - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Etapa 3.2

Subtraia $\csc (θ)$ de $\csc (θ)$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Etapa 3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Expanda $(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2}{\csc (θ) (\csc (θ) - 1) + 1 (\csc (θ) - 1)}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 (\csc (θ) - 1)}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 \csc (θ) + 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{2}{\csc^{2} (θ) - 1}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2}{\cot^{2} (θ)}$

Etapa 6

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 6.1

Escreva $\cot (θ)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{2}{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{2}{\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Etapa 7.2

Combine $2$ e $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Etapa 8

Reescreva $\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ como $2 \tan^{2} (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ)$

Etapa 9

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$ é uma identidade