Trigonometria Exemplos

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$2 θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- 30$ .

$2 θ = - 30$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 θ = - 30$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 θ = - 30$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- 30}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- 30}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{- 30}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida $- 30$ por $2$ .

$θ = - 15$

Etapa 4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $360$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $180$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$2 θ = 360 + 30 + 180$

Etapa 5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.1

Subtraia $360 °$ de $360 + 30 + 180 °$ .

$2 θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Etapa 5.2

O ângulo resultante de $210 °$ é positivo, menor do que $360 °$ e coterminal com $360 + 30 + 180$ .

$2 θ = 210 °$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 θ = 210 °$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 θ = 210 °$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{210 °}{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{210 °}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{210 °}{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $210 °$ por $2$ .

$θ = 105$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (2 θ)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 2 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{360}{2}$

Etapa 6.4

Divida $360$ por $2$ .

$180$

Etapa 7

Some $180$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.1

Some $180$ com $- 15$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 15 + 180$

Etapa 7.2

Subtraia $15$ de $180$ .

$165$

Etapa 7.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 165$

Etapa 8

O período da função $\sin (2 θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 105 + 180 n, 165 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$