Trigonometria Exemplos

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

Etapa 1

Subtraia $12 \tan (θ)$ dos dois lados da equação.

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Etapa 2

Fatore $3 \tan (θ)$ de $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $3 \tan (θ)$ de $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) - 12 \tan (θ) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $3 \tan (θ)$ de $- 12 \tan (θ)$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $3 \tan (θ)$ de $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

Etapa 4

Defina $\tan (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 4.1

Defina $\tan (θ)$ como igual a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\tan (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 4.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 180 + 0$

Etapa 4.2.4

Some $180$ e $0$ .

$θ = 180$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{180}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{180}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $180$ por $1$ .

$180$

Etapa 4.2.6

O período da função $\tan (θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $3 \sec^{2} (θ) - 4$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 5.1

Defina $3 \sec^{2} (θ) - 4$ como igual a $0$ .

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 5.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 \sec^{2} (θ) = 4$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $3 \sec^{2} (θ) = 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $3 \sec^{2} (θ) = 4$ por $3$ .

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $\sec^{2} (θ)$ por $1$ .

$\sec^{2} (θ) = \frac{4}{3}$

Etapa 5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.2.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.2.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.2.4.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.4.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 5.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 5.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 5.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 5.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.2.7

Resolva $θ$ em $\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 5.2.7.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da secante.

$θ = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 5.2.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.7.2.1

O valor exato de $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ é $30$ .

$θ = 30$

Etapa 5.2.7.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 360 - 30$

Etapa 5.2.7.4

Subtraia $30$ de $360$ .

$θ = 330$

Etapa 5.2.7.5

Encontre o período de $\sec (θ)$ .

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Etapa 5.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 5.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 5.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 5.2.7.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 5.2.7.6

O período da função $\sec (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.8

Resolva $θ$ em $\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 5.2.8.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da secante.

$θ = arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 5.2.8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.8.2.1

O valor exato de $arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ é $150$ .

$θ = 150$

Etapa 5.2.8.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 360 - 150$

Etapa 5.2.8.4

Subtraia $150$ de $360$ .

$θ = 210$

Etapa 5.2.8.5

Encontre o período de $\sec (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 5.2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 5.2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 5.2.8.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 5.2.8.6

O período da função $\sec (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 150 + 360 n, 210 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.9

Liste todas as soluções.

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n, 210 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.10

Consolide as soluções.

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Etapa 5.2.10.1

Consolide $30 + 360 n$ e $210 + 360 n$ em $30 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.10.2

Consolide $330 + 360 n$ e $150 + 360 n$ em $150 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$ verdadeiro.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide $180 n$ e $180 + 180 n$ em $180 n$ .

$θ = 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$