Trigonometria Exemplos

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

Etapa 1

Subtraia $12 \tan (θ)$ dos dois lados da equação.

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Etapa 2

Fatore $6 \tan (θ)$ de $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $6 \tan (θ)$ de $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $6 \tan (θ)$ de $- 12 \tan (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $6 \tan (θ)$ de $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2$ .

$6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

Etapa 4

Defina $\tan (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 4.1

Defina $\tan (θ)$ como igual a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\tan (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 4.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 180 + 0$

Etapa 4.2.4

Some $180$ e $0$ .

$θ = 180$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{180}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{180}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $180$ por $1$ .

$180$

Etapa 4.2.6

O período da função $\tan (θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\sec^{2} (θ) - 2$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 5.1

Defina $\sec^{2} (θ) - 2$ como igual a $0$ .

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\sec^{2} (θ) - 2 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\sec^{2} (θ) = 2$

Etapa 5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{2}$

Etapa 5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

Etapa 5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Etapa 5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sec (θ) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 5.2.4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Etapa 5.2.5

Resolva $θ$ em $\sec (θ) = \sqrt{2}$ .

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Etapa 5.2.5.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da secante.

$θ = arcsec (\sqrt{2})$

Etapa 5.2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.5.2.1

O valor exato de $arcsec (\sqrt{2})$ é $45$ .

$θ = 45$

Etapa 5.2.5.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 360 - 45$

Etapa 5.2.5.4

Subtraia $45$ de $360$ .

$θ = 315$

Etapa 5.2.5.5

Encontre o período de $\sec (θ)$ .

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Etapa 5.2.5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 5.2.5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 5.2.5.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 5.2.5.6

O período da função $\sec (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.6

Resolva $θ$ em $\sec (θ) = - \sqrt{2}$ .

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Etapa 5.2.6.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da secante.

$θ = arcsec (- \sqrt{2})$

Etapa 5.2.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.6.2.1

O valor exato de $arcsec (- \sqrt{2})$ é $135$ .

$θ = 135$

Etapa 5.2.6.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 360 - 135$

Etapa 5.2.6.4

Subtraia $135$ de $360$ .

$θ = 225$

Etapa 5.2.6.5

Encontre o período de $\sec (θ)$ .

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Etapa 5.2.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 5.2.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 5.2.6.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 5.2.6.6

O período da função $\sec (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.7

Liste todas as soluções.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.8

Consolide as respostas.

$θ = 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$ verdadeiro.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide $180 n$ e $180 + 180 n$ em $180 n$ .

$θ = 180 n, 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro $n$