Trigonometria Exemplos

$2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (θ)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (θ)$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Etapa 1.2

Fatore $u$ de $2 u^{2} - u$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $u$ de $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $u$ de $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $u$ de $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

Etapa 3

Defina $\cos (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 3.1

Defina $\cos (θ)$ como igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\cos (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 3.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (0)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $90$ .

$θ = 90$

Etapa 3.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 360 - 90$

Etapa 3.2.4

Subtraia $90$ de $360$ .

$θ = 270$

Etapa 3.2.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 3.2.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 3.2.6

O período da função $\cos (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $2 \cos (θ) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 4.1

Defina $2 \cos (θ) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2 \cos (θ) - 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \cos (θ) = 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (θ) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.4.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $60$ .

$θ = 60$

Etapa 4.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 360 - 60$

Etapa 4.2.6

Subtraia $60$ de $360$ .

$θ = 300$

Etapa 4.2.7

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 4.2.7.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 4.2.8

O período da função $\cos (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) = 0$ verdadeiro.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide $90 + 360 n$ e $270 + 360 n$ em $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$