Trigonometria Exemplos

$\sin (3 θ) = - 1$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$3 θ = \arcsin (- 1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$3 θ = - \frac{π}{2}$

Etapa 3

Divida cada termo em $3 θ = - \frac{π}{2}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $3 θ = - \frac{π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Etapa 4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$3 θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $3 θ = \frac{3 π}{2}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 θ = \frac{3 π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$θ = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{π}{2}$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (3 θ)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 7

Some $\frac{2 π}{3}$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.1

Some $\frac{2 π}{3}$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.2

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{6}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{6}$

Etapa 7.5.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{6}$

Etapa 7.6

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 7.6.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{6}$

Etapa 7.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Etapa 7.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Etapa 7.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{2}$

Etapa 7.7

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{π}{2}$

Etapa 8

O período da função $\sin (3 θ)$ é $\frac{2 π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{2 π}{3}$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$