Trigonometria Exemplos

$\frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a = \frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)}$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre $| z |$ .

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Etapa 4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}}$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sin (θ)}^{2 \cdot 2}}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{4} (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}}$

Etapa 4.4

Some $0$ e $\frac{\sin^{4} (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{4} (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}}$

Etapa 4.5

Reescreva $\sin^{4} (θ)$ como ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}}$

Etapa 4.6

Reescreva $\frac{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ como ${(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{2}}$

Etapa 4.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = \frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)}})$

Etapa 6

Substitua os valores de $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)}})$ e $| z | = \frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{(1 - \cos (θ)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 - \cos (θ)}})))}$