Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 2

Expanda $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Combine os termos opostos em $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 3.1.2

Some $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 3.1.3

Some $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 3.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 3.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 3.2.3.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Etapa 3.2.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Etapa 3.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Etapa 3.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 4

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 x)$

Etapa 5

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 6

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 7

Substitua os valores reais de $a = \cos (2 x)$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + \cos^{2} (2 x)}$

Etapa 8

Encontre $| z |$ .

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Etapa 8.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + \cos^{2} (2 x)}$

Etapa 8.2

Some $0$ e $\cos^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{2} (2 x)}$

Etapa 8.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = \cos (2 x)$

Etapa 9

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})$

Etapa 10

Substitua os valores de $θ = \arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})$ e $| z | = \cos (2 x)$ .

$\cos (2 x) (\cos (\arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})))$