Trigonometria Exemplos

$\sin (2 θ) = \cos (θ)$

Etapa 1

Subtraia $\cos (θ)$ dos dois lados da equação.

$\sin (2 θ) - \cos (θ) = 0$

Etapa 2

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) = 0$

Etapa 3

Fatore $\cos (θ)$ de $2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ)$ .

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Etapa 3.1

Fatore $\cos (θ)$ de $2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) - \cos (θ) = 0$

Etapa 3.2

Fatore $\cos (θ)$ de $- \cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $\cos (θ)$ de $\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Etapa 5

Defina $\cos (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cos (θ)$ como igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $90$ .

$θ = 90$

Etapa 5.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 360 - 90$

Etapa 5.2.4

Subtraia $90$ de $360$ .

$θ = 270$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 5.2.6

O período da função $\cos (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $2 \sin (θ) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 6.1

Defina $2 \sin (θ) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 \sin (θ) - 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \sin (θ) = 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $30$ .

$θ = 30$

Etapa 6.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = 180 - 30$

Etapa 6.2.6

Subtraia $30$ de $180$ .

$θ = 150$

Etapa 6.2.7

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 6.2.7.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 6.2.8

O período da função $\sin (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$ verdadeiro.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide $90 + 360 n$ e $270 + 360 n$ em $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$