Trigonometria Exemplos

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$

Etapa 1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

Etapa 2

Defina $\cot (θ) - \sqrt{3}$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 2.1

Defina $\cot (θ) - \sqrt{3}$ como igual a $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

Etapa 2.2

Resolva $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ para $θ$ .

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Etapa 2.2.1

Some $\sqrt{3}$ aos dois lados da equação.

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Etapa 2.2.2

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da cotangente.

$θ = arccot (\sqrt{3})$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

O valor exato de $arccot (\sqrt{3})$ é $30$ .

$θ = 30$

Etapa 2.2.4

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 180 + 30$

Etapa 2.2.5

Some $180$ e $30$ .

$θ = 210$

Etapa 2.2.6

Encontre o período de $\cot (θ)$ .

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Etapa 2.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Etapa 2.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{180}{| 1 |}$

Etapa 2.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{180}{1}$

Etapa 2.2.6.4

Divida $180$ por $1$ .

$180$

Etapa 2.2.7

O período da função $\cot (θ)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Defina $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 3.1

Defina $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ como igual a $0$ .

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ por $\sqrt{2}$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 3.2.2.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.3.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.2.2.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.2.2.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.2.2.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.2.2.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.2.2.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.2.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.2.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.2.2.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $- 45$ .

$θ = - 45$

Etapa 3.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $360$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $180$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 360 + 45 + 180$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.2.6.1

Subtraia $360 °$ de $360 + 45 + 180 °$ .

$θ = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Etapa 3.2.6.2

O ângulo resultante de $225 °$ é positivo, menor do que $360 °$ e coterminal com $360 + 45 + 180$ .

$θ = 225 °$

Etapa 3.2.7

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 3.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 3.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 3.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 3.2.7.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 3.2.8

Some $360$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 3.2.8.1

Some $360$ com $- 45$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 45 + 360$

Etapa 3.2.8.2

Subtraia $45$ de $360$ .

$315$

Etapa 3.2.8.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 315$

Etapa 3.2.9

O período da função $\sin (θ)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$θ = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

A solução final são todos os valores que tornam $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$ verdadeiro.

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Consolide $30 + 180 n$ e $210 + 180 n$ em $30 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$