Trigonometria Exemplos

$\tan (105 °)$

Etapa 1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$- \tan (75)$

Etapa 2

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \tan (30 + 45)$

Etapa 3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Etapa 4

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Etapa 5

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Etapa 6

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Etapa 7

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Etapa 8

Simplifique $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Etapa 8.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $3$ .

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Etapa 8.1.1

Multiplique $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})$

Etapa 8.1.2

Combine.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 8.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 8.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 8.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 8.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 8.5.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Etapa 8.5.3.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Etapa 8.5.3.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Etapa 8.6

Multiplique $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Etapa 8.7

Multiplique $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Etapa 8.8

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 8.9

Simplifique.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 8.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.10.1

Reordene os termos.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 8.10.2

Eleve $3 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 8.10.3

Eleve $3 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Etapa 8.10.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Etapa 8.10.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Etapa 8.11

Reescreva ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 8.12

Expanda $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 8.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 8.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 8.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 8.13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.13.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 8.13.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 8.13.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Etapa 8.13.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Etapa 8.13.1.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Etapa 8.13.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Etapa 8.13.2

Some $9$ e $3$ .

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 8.13.3

Some $3 \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 8.14

Cancele o fator comum de $12 + 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

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Etapa 8.14.1

Fatore $6$ de $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 8.14.2

Fatore $6$ de $6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Etapa 8.14.3

Fatore $6$ de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 8.14.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.14.4.1

Fatore $6$ de $6$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Etapa 8.14.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Etapa 8.14.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Etapa 8.14.4.4

Divida $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Etapa 8.15

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Etapa 8.16

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 3.73205080 \dots$