Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (x) = 2 + 2 \sin (x)$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\cos^{2} (x) - 2 = 2 \sin (x)$

Etapa 1.2

Subtraia $2 \sin (x)$ dos dois lados da equação.

$\cos^{2} (x) - 2 - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 2

Substitua $\cos^{2} (x)$ por $1 - \sin^{2} (x)$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) - 2 - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 1 - \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.2.1

Reordene os termos.

$- \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 2 \sin (x)$ .

$- \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva $- 2$ como $- 1$ mais $- 1$

$- \sin^{2} (x) + (- 1 - 1) \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\sin (x) (- \sin (x) - 1) + 1 (- \sin (x) - 1) = 0$

Etapa 3.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- \sin (x) - 1$ .

$(- \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 3.4

Defina $- \sin (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $- \sin (x) - 1$ como igual a $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $- \sin (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- \sin (x) = 1$

Etapa 3.4.2.2

Divida cada termo em $- \sin (x) = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.2.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Etapa 3.4.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 3.4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 3.4.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 3.4.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.4.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 3.4.2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.4.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.4.2.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 3.4.2.8.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 3.4.2.8.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.4.2.8.3

Combine frações.

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Etapa 3.4.2.8.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.4.2.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.4.2.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.8.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.4.2.8.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 3.4.2.8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.4.2.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $(- \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$