Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} + 1}{3 x + 6}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} + 1}{3 x + 6}$ é indefinida.

$x = - 2$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{3 x + 6}$

Etapa 5.1.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{3 x + 6}$

Etapa 5.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{3 x + 6}$

Etapa 5.1.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 x + 6}$

Etapa 5.1.2

Fatore $3$ de $3 x + 6$ .

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 (x) + 6}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 x + 3 \cdot 2}$

Etapa 5.1.2.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2

Expanda $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.6

Remova os parênteses.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.7

Reordene $x$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.8

Reordene $x$ e $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.9

Remova os parênteses.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.10

Multiplique $- 1$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.13

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.14

Fatore o negativo.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.18

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.19

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.20

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.21

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.22

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.23

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.24

Mova $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.25

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.26

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.27

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.2.28

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{3 (x + 2)}$

Etapa 5.3

Expanda $3 (x + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 1}{3 x + 3 \cdot 2}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} + 1}{3 x + 6}$

Etapa 5.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$6$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 5.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$\frac{x^{2}}{3}$
	$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Etapa 5.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 5.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 5.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 5.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 5.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 5.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 5.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} - 4 x$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 5.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Etapa 5.14

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$

Etapa 5.15

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$

Etapa 5.16

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							+	$4 x$	+	$8$

Etapa 5.17

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x + 8$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							-	$4 x$	-	$8$

Etapa 5.18

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							-	$4 x$	-	$8$
									-	$7$

Etapa 5.19

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - \frac{7}{3 x + 6}$

Etapa 5.20

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 2$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 7