Pré-cálculo Exemplos

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ é indefinida.

$x = - 2, x = 0$

Etapa 2

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 2$ a partir da esquerda e $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 2$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 2$

Etapa 3

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 2, 0$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Etapa 8.1.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Etapa 8.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x (x + 2)}$

Etapa 8.2

Expanda $x (x + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Etapa 8.2.2

Reordene $x$ e $2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Etapa 8.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Etapa 8.2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Etapa 8.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{1 + 1} + 2 x}$

Etapa 8.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

Etapa 8.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 8.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 8.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

Etapa 8.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{3} + 6 x^{2} + 0$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

Etapa 8.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

Etapa 8.8

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

Etapa 8.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Etapa 8.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$5 x^{2}$	-	$10 x$	+	$0$

Etapa 8.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{2} - 10 x + 0$ .

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

Etapa 8.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

$10 x$

$1$

Etapa 8.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$3 x - 5 + \frac{10 x + 1}{x^{2} + 2 x}$

Etapa 8.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 3 x - 5$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 2, 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 3 x - 5$

Etapa 10