Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 2} + \sqrt{2 x - 3} = 5$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} - 2 x - 2}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} - 2 x - 2 \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Etapa 2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.3

Some $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.3

Some $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.3

Some $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Etapa 2.7

Consolide as soluções.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 1 - \sqrt{3}$

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$

$x > 1 + \sqrt{3}$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < 1 - \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 1 - \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

${(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 - 2 \geq 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $13$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2 \geq 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $- 2$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 1 + \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1 + \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

${(5)}^{2} - 2 \cdot 5 - 2 \geq 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $13$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 1 - \sqrt{3}$ Verdadeiro

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Falso

$x > 1 + \sqrt{3}$ Verdadeiro

$x < 1 - \sqrt{3}$ Verdadeiro

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Falso

$x > 1 + \sqrt{3}$ Verdadeiro

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq 1 - \sqrt{3}$ ou $x \geq 1 + \sqrt{3}$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{2 x - 3}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x - 3 \geq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Some $3$ aos dois lados da desigualdade.

$2 x \geq 3$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $2 x \geq 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $2 x \geq 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{3}{2}$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[1 + \sqrt{3}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 1 + \sqrt{3}}$

Etapa 6