Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} - 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} - 1 \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{2} \geq 1$

Etapa 2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}$

Etapa 2.3

Simplifique a equação.

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Etapa 2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \geq \sqrt{1}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$| x | \geq 1$

Etapa 2.4

Escreva $| x | \geq 1$ em partes.

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Etapa 2.4.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 2.4.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \geq 1$

Etapa 2.4.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 2.4.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \geq 1$

Etapa 2.4.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \geq 1 & x \geq 0 \\ - x \geq 1 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 2.5

Encontre a intersecção de $x \geq 1$ e $x \geq 0$ .

$x \geq 1$

Etapa 2.6

Divida cada termo em $- x \geq 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.6.1

Divida cada termo em $- x \geq 1$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.6.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$x \leq - 1$

Etapa 2.7

Encontre a união das soluções.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 1$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Simplifique.

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 4.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 4.3.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 4.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 4.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 4.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - 1, x > 1}$

Etapa 6