Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$ é indefinida.

$x = - \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}$

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Fatore $x$ de $9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Fatore $x$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 6.1.1.1.2

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 6.1.1.1.3

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 6.1.1.1.4

Fatore $x$ de $x (9 x^{2}) + x (3 x)$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 6.1.1.1.5

Fatore $x$ de $x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 6.1.1.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 3 (x) - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 6.1.1.2.1.2

Reescreva $3$ como $- 3$ mais $6$

$\frac{x (9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 6.1.1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 6.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x ((9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 6.1.1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 6.1.1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$\frac{x ((3 x - 1) (3 x + 2))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 6.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ e cuja soma é $b = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 (x) - 2}$

Etapa 6.1.2.1.2

Reescreva $3$ como $- 3$ mais $6$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2}$

Etapa 6.1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2}$

Etapa 6.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2}$

Etapa 6.1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1)}$

Etapa 6.1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $3 x - 1$ .

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Etapa 6.1.4

Cancele o fator comum de $3 x + 2$ .

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Etapa 6.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Etapa 6.1.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$x$

Etapa 6.2

Como não há parte polinomial da divisão polinomial, não há assíntotas oblíquas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 8