Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ é indefinida.

$x = - 2, x = 3$

Etapa 2

$\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 2$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 2$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 2$

Etapa 3

$\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $3$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $3$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 3$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 2, 3$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 16 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Etapa 8.1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 16 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 16}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Etapa 8.1.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$\frac{x (x^{2} - 16)}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Etapa 8.1.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 4^{2})}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Etapa 8.1.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Etapa 8.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1.2.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2} + 4 x + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 x + 24}$

Etapa 8.1.2.1.2

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 (x) + 24}$

Etapa 8.1.2.1.3

Fatore $4$ de $24$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 x + 4 \cdot 6}$

Etapa 8.1.2.1.4

Fatore $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + x) + 4 \cdot 6}$

Etapa 8.1.2.1.5

Fatore $4$ de $4 (- x^{2} + x) + 4 \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + x + 6)}$

Etapa 8.1.2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 8.1.2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 8.1.2.2.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + 1 x + 6)}$

Etapa 8.1.2.2.1.2

Reescreva $1$ como $- 2$ mais $3$

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + (- 2 + 3) x + 6)}$

Etapa 8.1.2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} - 2 x + 3 x + 6)}$

Etapa 8.1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.1.2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 ((- x^{2} - 2 x) + 3 x + 6)}$

Etapa 8.1.2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (x (- x - 2) - 3 (- x - 2))}$

Etapa 8.1.2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 2$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 ((- x - 2) (x - 3))}$

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x - 2) (x - 3)}$

Etapa 8.1.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 8.1.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x) - 2) (x - 3)}$

Etapa 8.1.3.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x) - 1 (2)) (x - 3)}$

Etapa 8.1.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x + 2)) (x - 3)}$

Etapa 8.1.3.4

Reescreva os negativos.

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Etapa 8.1.3.4.1

Reescreva $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- 1 (x + 2)) (x - 3)}$

Etapa 8.1.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{(4 (x + 2)) (x - 3)}$

Etapa 8.1.3.4.3

Reordene os fatores em $- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{(4 (x + 2)) (x - 3)}$ .

$- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2

Expanda $- x (x + 4) (x - 4)$ .

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Etapa 8.2.1

Negative $x$ .

$\frac{- x (x + 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- x \cdot x - x \cdot 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x (x - 4) - x \cdot (4 (x - 4))}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot x \cdot - 4 - x \cdot (4 (x - 4))}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot x \cdot - 4 - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.6

Mova $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot (- 4 x) - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.7

Mova $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.8

Mova $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.9

Mova $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.10

Mova $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.11

Fatore o negativo.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{1 + 1} x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.15

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.16

Fatore o negativo.

$\frac{- (x^{2} x) - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.17

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- (x^{2} x) - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{2 + 1} - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.19

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.20

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x \cdot x - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.21

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.22

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.23

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{3} + 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.24

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.25

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \cdot x - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.26

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.27

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.28

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.29

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.30

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.31

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.32

Subtraia $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 0 + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.2.33

Some $0$ e $16 x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Etapa 8.3

Expanda $4 (x + 2) (x - 3)$ .

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Etapa 8.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{(4 x + 4 \cdot 2) (x - 3)}$

Etapa 8.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x (x - 3) + 4 \cdot (2 (x - 3))}$

Etapa 8.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (2 (x - 3))}$

Etapa 8.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.5

Mova $x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.10

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.11

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.12

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x + 8 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.13

Multiplique $8$ por $- 3$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x - 24}$

Etapa 8.3.14

Some $- 12 x$ e $8 x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 4 x - 24}$

Etapa 8.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

Etapa 8.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x^{2}$ .

						-	$\frac{x}{4}$
	$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$

Etapa 8.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

Etapa 8.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + x^{2} + 6 x$ .

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

Etapa 8.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

Etapa 8.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

Etapa 8.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x^{2}$ .

$\frac{x}{4}$

$\frac{1}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

Etapa 8.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{x}{4}$

$\frac{1}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$6$

Etapa 8.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} + x + 6$ .

					-	$\frac{x}{4}$	-	$\frac{1}{4}$
$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$6 x$
							-	$x^{2}$	+	$10 x$	+	$0$
							+	$x^{2}$	-	$x$	-	$6$

Etapa 8.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

					-	$\frac{x}{4}$	-	$\frac{1}{4}$
$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$6 x$
							-	$x^{2}$	+	$10 x$	+	$0$
							+	$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
									+	$9 x$	-	$6$

Etapa 8.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{9 x - 6}{4 x^{2} - 4 x - 24}$

Etapa 8.15

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$- \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{- 9 x + 6}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Etapa 8.16

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 2, 3$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 10