Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ é indefinida.

$x = - 3, x = 0$

Etapa 2

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 3$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 3$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 3$

Etapa 3

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 3, 0$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 3 x}$

Etapa 8.1.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Etapa 8.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 8.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Etapa 8.1.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 3 x}$

Etapa 8.1.2

Fatore $x$ de $x^{2} + 3 x$ .

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Etapa 8.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + 3 x}$

Etapa 8.1.2.2

Fatore $x$ de $3 x$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Etapa 8.1.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2

Expanda $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.6

Remova os parênteses.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.7

Reordene $x$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.8

Reordene $x$ e $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.9

Remova os parênteses.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.10

Multiplique $- 1$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.13

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.14

Fatore o negativo.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.18

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.19

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.20

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.21

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.22

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.23

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.24

Mova $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.25

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.26

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.27

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.2.28

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x (x + 3)}$

Etapa 8.3

Expanda $x (x + 3)$ .

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Etapa 8.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Etapa 8.3.2

Reordene $x$ e $3$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Etapa 8.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Etapa 8.3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Etapa 8.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + 1}{x^{1 + 1} + 3 x}$

Etapa 8.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Etapa 8.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 8.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 8.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Etapa 8.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 3 x^{2} + 0$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Etapa 8.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

Etapa 8.9

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

Etapa 8.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Etapa 8.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$3 x^{2}$	-	$9 x$	+	$0$

Etapa 8.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2} - 9 x + 0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

Etapa 8.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$9 x$

$1$

Etapa 8.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x - 3 + \frac{9 x + 1}{x^{2} + 3 x}$

Etapa 8.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x - 3$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 3, 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x - 3$

Etapa 10