Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 6 x + k$

Etapa 1

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 2

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{- 6}{2 (2)}$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{- 6}{2 (2)}$

Etapa 2.3

Simplifique $- \frac{- 6}{2 (2)}$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 (2)}$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - - \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- - \frac{3}{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{3}{2})$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 3

Avalie $f (\frac{3}{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2^{2}}) - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{4}) - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Etapa 3.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 (2)}) - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Etapa 3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 2}) - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Etapa 3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Etapa 3.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.5.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 (- 3) (\frac{3}{2}) + k$

Etapa 3.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 \cdot (- 3 (\frac{3}{2})) + k$

Etapa 3.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 3 \cdot 3 + k$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 + k$

Etapa 3.2.2

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} + k$

Etapa 3.2.3

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + k$

Etapa 3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{2} + k$

Etapa 3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{2} + k$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $18$ de $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 9}{2} + k$

Etapa 3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + k$

Etapa 3.2.7

A resposta final é $- \frac{9}{2} + k$ .

$- \frac{9}{2} + k$

Etapa 4

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(\frac{3}{2}, - \frac{9}{2} + k)$

Etapa 5