Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 - x + x^{2}$

Etapa 1

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 2

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{- 1}{2 (1)}$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{- 1}{2 (1)}$

Etapa 2.3

Simplifique $- \frac{- 1}{2 (1)}$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $- 1$ e $1$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = - \frac{- 1 (1)}{2 (1)}$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 3

Avalie $f (\frac{1}{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = 2 - (\frac{1}{2}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Etapa 3.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 3.2.2.1

Escreva $2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{1}{4}$

Etapa 3.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

Etapa 3.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4 - 2 + 1}{4}$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 - 2 + 1}{4}$

Etapa 3.2.4.2

Subtraia $2$ de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6 + 1}{4}$

Etapa 3.2.4.3

Some $6$ e $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{7}{4}$

Etapa 3.2.5

A resposta final é $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Etapa 4

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$

Etapa 5