Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} = 81 - 9 x^{2}$

Etapa 1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$

Etapa 2

Simplifique $\pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Fatore $9$ de $81 - 9 x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $9$ de $81$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9) - 9 x^{2}}$

Etapa 2.1.2

Fatore $9$ de $- 9 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9) + 9 (- x^{2})}$

Etapa 2.1.3

Fatore $9$ de $9 (9) + 9 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9 - x^{2})}$

Etapa 2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (3^{2} - x^{2})}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{9 (3 + x) (3 - x)}$

Etapa 2.4

Reescreva $9 (3 + x) (3 - x)$ como $3^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Etapa 2.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} (3 + x) (3 - x)}$

Etapa 2.4.2

Adicione parênteses.

$y = \pm \sqrt{3^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Etapa 2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Etapa 3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Etapa 3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Etapa 3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Etapa 4

Defina o radicando em $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Etapa 5.2

Defina $3 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Defina $3 + x$ como igual a $0$ .

$3 + x = 0$

Etapa 5.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5.3

Defina $3 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Defina $3 - x$ como igual a $0$ .

$3 - x = 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $3 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 5.4

A solução final são todos os valores que tornam $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3$

Etapa 5.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 5.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 5.6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Etapa 5.6.1.3

O lado esquerdo $- 27$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.6.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Etapa 5.6.2.3

O lado esquerdo $9$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 5.6.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Etapa 5.6.3.3

O lado esquerdo $- 27$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 5.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 \leq x \leq 3$

Etapa 6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 3, 3]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Etapa 7

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 9, 9]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - 9 \leq y \leq 9}$

Etapa 8

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- 3, 3], {x | - 3 \leq x \leq 3}$

Intervalo: $[- 9, 9], {y | - 9 \leq y \leq 9}$

Etapa 9