Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x^{2}}{16}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Etapa 3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{16}$ para o numerador.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Etapa 3.2.1.3.2

Fatore $4$ de $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Etapa 3.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Etapa 3.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Etapa 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Etapa 5.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 5.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Etapa 5.1.2

Reescreva $\frac{x^{2}}{4}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Etapa 5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Etapa 5.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Etapa 5.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Etapa 5.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Etapa 5.7

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Etapa 5.8

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Etapa 5.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Etapa 5.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Etapa 5.11

Multiplique $\frac{4 + x}{2}$ por $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Etapa 5.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Etapa 5.13

Reescreva $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Etapa 5.13.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Etapa 5.13.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Etapa 5.13.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Etapa 5.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Etapa 5.15

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Etapa 8.2

Defina $4 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Defina $4 + x$ como igual a $0$ .

$4 + x = 0$

Etapa 8.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 8.3

Defina $4 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.3.1

Defina $4 - x$ como igual a $0$ .

$4 - x = 0$

Etapa 8.3.2

Resolva $4 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 8.3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x = - 4$

Etapa 8.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 8.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Etapa 8.4

A solução final são todos os valores que tornam $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 4$

Etapa 8.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 8.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 8.6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Etapa 8.6.1.3

O lado esquerdo $- 20$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Etapa 8.6.2.3

O lado esquerdo $16$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 8.6.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Etapa 8.6.3.3

O lado esquerdo $- 20$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 8.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 \leq x \leq 4$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 4, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 2, 2]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - 2 \leq y \leq 2}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- 4, 4], {x | - 4 \leq x \leq 4}$

Intervalo: $[- 2, 2], {y | - 2 \leq y \leq 2}$

Etapa 12