Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 - 3 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$1 + 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Etapa 4.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 3 - 6 \cdot 1 + 6 (- 1) + 8$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$1 + 3 - 6 + 6 (- 1) + 8$

Etapa 4.1.6

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$1 + 3 - 6 - 6 + 8$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $3$ .

$4 - 6 - 6 + 8$

Etapa 4.2.2

Subtraia $6$ de $4$ .

$- 2 - 6 + 8$

Etapa 4.2.3

Subtraia $6$ de $- 2$ .

$- 8 + 8$

Etapa 4.2.4

Some $- 8$ e $8$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$	$- 4$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 2)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(8)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 8)$ sob o próximo termo no dividendo $(8)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 2) x + 8$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) + x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

$(x + 1) x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 4$ .

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 2)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Reagrupe os termos.

$- 3 x^{3} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 9.2

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3} + 6 x$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore $- 3 x$ de $6 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 2 + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 9.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Etapa 9.5

Fatore $u^{2} - 6 u + 8$ usando o método AC.

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Etapa 9.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 9.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (u - 4) (u - 2) = 0$

Etapa 9.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 9.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 9.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 9.9

Fatore $x^{2} - 2$ de $- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

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Etapa 9.9.1

Fatore $x^{2} - 2$ de $- 3 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 9.9.2

Fatore $x^{2} - 2$ de $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 9.9.3

Fatore $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 9.10

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 9.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Etapa 9.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Etapa 9.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 9.11

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 9.11.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 9.11.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 9.11.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 9.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.12.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 9.12.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Etapa 9.13

Reordene os termos.

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Etapa 9.14

Fatore.

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Etapa 9.14.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 9.14.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 9.14.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Etapa 9.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 11

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 12

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 12.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 13

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Forma decimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 4, - 1$

Etapa 16