Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{3} - {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 1 \cdot 1 + 4 (1) - 4$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 + 4 (1) - 4$

Etapa 4.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$1 - 1 + 4 - 4$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 + 4 - 4$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $4$ .

$4 - 4$

Etapa 4.2.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 4 x - 4}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$
	$1$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$	$4$
	$1$	$0$	$4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$	$4$
	$1$	$0$	$4$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + 0 x + 4$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} + 4$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 7.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 7.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 7.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 7.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 7.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 7.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 7.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 7.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 7.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 7.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 7.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 1) (x - 2 i) (x + 2 i)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ .

$x = 1, 2 i, - 2 i$

Etapa 10