Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 14, \pm 28$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 2$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Etapa 4.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Etapa 4.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + 3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Etapa 4.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$2^{4} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Etapa 4.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 - 4 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 28$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$16 - 16 - 14 \cdot 2 + 28$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 14$ por $2$ .

$16 - 16 - 28 + 28$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $16$ de $16$ .

$0 - 28 + 28$

Etapa 4.2.2

Subtraia $28$ de $0$ .

$- 28 + 28$

Etapa 4.2.3

Some $- 28$ e $28$ .

$0$

Etapa 5

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28}{x - 2}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 14)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$	$- 14$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 14)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(- 28)$ sob o próximo termo no dividendo $(28)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + 0 x - 14$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{2} - 14$

Etapa 7

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 14$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$(x - 2) (2 (x^{2}) - 14)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $- 14$ .

$(x - 2) (2 x^{2} + 2 \cdot - 7)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 7$ .

$(x - 2) (2 (x^{2} - 7))$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore $2$ de $2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 14 x + 28 = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore $2$ de $- 4 x^{2}$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 14 x + 28 = 0$

Etapa 8.1.3

Fatore $2$ de $- 14 x$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 28 = 0$

Etapa 8.1.4

Fatore $2$ de $28$ .

$2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Etapa 8.1.5

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Etapa 8.1.6

Fatore $2$ de $2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Etapa 8.1.7

Fatore $2$ de $2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 14) = 0$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 ((x^{3} - 2 x^{2}) - 7 x + 14) = 0$

Etapa 8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (x^{2} (x - 2) - 7 (x - 2)) = 0$

Etapa 8.3

Fatore.

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Etapa 8.3.1

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 2$ .

$2 ((x - 2) (x^{2} - 7)) = 0$

Etapa 8.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

Etapa 10

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 10.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 11

Defina $x^{2} - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} - 7$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} - 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 7$

Etapa 11.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{7}$

Etapa 11.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{7}$

Etapa 11.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{7}$

Etapa 11.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Forma decimal:

$x = 2, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

Etapa 14