Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Etapa 1

Divida usando a divisão polinomial longa.

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Etapa 1.1

Expanda $x (x^{2} + 1)$ .

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Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Etapa 1.1.2

Reordene $x$ e $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Etapa 1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

Etapa 1.1.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Etapa 1.2

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 1.3

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 1.4

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Etapa 1.5

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Etapa 1.6

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

Etapa 1.7

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

Etapa 1.8

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Etapa 2

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{3} + x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

Etapa 2.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Etapa 2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Etapa 2.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.5.2

Divida $2 x^{2} + 1$ por $1$ .

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.6.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.6.1.2

Divida $A (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.6.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.6.4.2

Divida $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Etapa 2.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Etapa 2.6.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.6.1

Mova $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Etapa 2.6.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Etapa 2.7

Mova $A$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Etapa 3

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 3.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 3.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 3.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 3.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Etapa 4

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

Etapa 4.2

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 4.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $2 = A + B$ por $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.1

Remova os parênteses.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 4.4

Resolva $B$ em $2 = 1 + B$ .

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Etapa 4.4.1

Reescreva a equação como $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 4.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 4.4.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 4.5

Resolva o sistema de equações.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Etapa 4.6

Liste todas as soluções.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Etapa 5

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Remova os parênteses.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.2

Some $(1) \cdot x$ e $0$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$