Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.4.2

Divida $x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5$ por $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A x + B$ por $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ e $x^{2} - 2 x + 3$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x + 3$ de $(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)}{1}$

Etapa 1.5.2.2.4

Divida $(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ por $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + (C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$

Etapa 1.5.3

Expanda $(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Etapa 1.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.4.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.4.1.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Etapa 1.5.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.5.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Etapa 1.5.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Etapa 1.5.4.1.3

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Etapa 1.5.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x \cdot x + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Etapa 1.5.4.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.4.3.1

Mova $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C (x \cdot x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Etapa 1.5.4.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Etapa 1.5.4.4

Mova $3$ para a esquerda de $C x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 \cdot (C x) + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Etapa 1.5.4.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + D \cdot 3$

Etapa 1.5.4.6

Mova $3$ para a esquerda de $D$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + 3 D$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.1

Mova $B$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + B + 3 D$

Etapa 1.6.2

Mova $3 C x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

Etapa 1.6.3

Mova $A x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + A x + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{3}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 4 = - 2 C + D$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$9 = A + 3 C - 2 D$

Etapa 2.4

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 2.5

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $C = 1$ .

$C = 1$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $- 4 = - 2 C + D$ por $1$ .

$- 4 = - 2 \cdot 1 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $9 = A + 3 C - 2 D$ por $1$ .

$9 = A + 3 (1) - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3.3

Resolva $D$ em $- 4 = - 2 + D$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 2 + D = - 4$ .

$- 2 + D = - 4$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $D$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$D = - 4 + 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 4$ e $2$ .

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $D$ por $- 2$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $D$ em $9 = A + 3 - 2 D$ por $- 2$ .

$9 = A + 3 - 2 \cdot - 2$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $A + 3 - 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$9 = A + 3 + 4$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $3$ e $4$ .

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $D$ em $- 5 = B + 3 D$ por $- 2$ .

$- 5 = B + 3 (- 2)$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Etapa 3.4.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.1

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Etapa 3.5

Resolva $B$ em $- 5 = B - 6$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $B - 6 = - 5$ .

$B - 6 = - 5$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.5.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$B = - 5 + 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Etapa 3.5.2.2

Some $- 5$ e $6$ .

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Etapa 3.6

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $A + 7 = 9$ .

$A + 7 = 9$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Etapa 3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.6.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$A = 9 - 7$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Etapa 3.6.2.2

Subtraia $7$ de $9$ .

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$A = 2, B = 1, D = - 2, C = 1$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{1 x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $x$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(1) \cdot x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 5.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$