Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + 5 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 13 x + 1$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.5.2

Divida $x^{2} + 5 x + 3$ por $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 5 x + 3 = \frac{A (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (x^{2} + 13 x + 1)$ por $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = (A) (x^{2} + 13 x + 1) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + A (13 x) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.6.3

Simplifique.

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Etapa 1.6.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.6.3.2

Multiplique $A$ por $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 13 x + 1$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B x + C) (x + 1)$ por $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + (B x + C) (x + 1)$

Etapa 1.6.5

Expanda $(B x + C) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Etapa 1.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Etapa 1.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.6.6.1.1

Mova $x$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.6.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.6.6.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.6.6.3

Multiplique $C$ por $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.1

Mova $A$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.7.2

Reordene $B$ e $x^{2}$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.7.3

Reordene $B$ e $x$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.7.4

Mova $A$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + B x^{2} + B x + C x + A + C$

Etapa 1.7.5

Mova $13 x A$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + 13 x A + B x + C x + A + C$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = 13 A + B + C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = A + C$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

$1 = A + B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

$A = 1 - B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $5 = 13 A + B + C$ por $1 - B$ .

$5 = 13 (1 - B) + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $13 (1 - B) + B + C$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = 13 \cdot 1 + 13 (- B) + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $13$ por $1$ .

$5 = 13 + 13 (- B) + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $13$ .

$5 = 13 - 13 B + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

$5 = 13 - 13 B + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $- 13 B$ e $B$ .

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $3 = A + C$ por $1 - B$ .

$3 = (1 - B) + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Remova os parênteses.

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3

Reordene $1$ e $- B$ .

$A = - B + 1$

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

Etapa 3.4

Resolva $C$ em $3 = 1 - B + C$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $1 - B + C = 3$ .

$1 - B + C = 3$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Etapa 3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- B + C = 3 - 1$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Etapa 3.4.2.2

Some $B$ aos dois lados da equação.

$C = 3 - 1 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Etapa 3.4.2.3

Subtraia $1$ de $3$ .

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Etapa 3.5

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $2 + B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $5 = 13 - 12 B + C$ por $2 + B$ .

$5 = 13 - 12 B + 2 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Etapa 3.5.2

Simplifique $5 = 13 - 12 B + 2 + B$ .

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Remova os parênteses.

$5 = 13 - 12 B + 2 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + 2 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Simplifique $13 - 12 B + 2 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1.1

Some $13$ e $2$ .

$5 = - 12 B + 15 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Some $- 12 B$ e $B$ .

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Etapa 3.6

Resolva $B$ em $5 = - 11 B + 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $- 11 B + 15 = 5$ .

$- 11 B + 15 = 5$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Etapa 3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Subtraia $15$ dos dois lados da equação.

$- 11 B = 5 - 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Etapa 3.6.2.2

Subtraia $15$ de $5$ .

$- 11 B = - 10$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$- 11 B = - 10$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Etapa 3.6.3

Divida cada termo em $- 11 B = - 10$ por $- 11$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1

Divida cada termo em $- 11 B = - 10$ por $- 11$ .

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Etapa 3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Etapa 3.6.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Etapa 3.6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Etapa 3.7

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{10}{11}$ em cada equação.

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Etapa 3.7.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $C = 2 + B$ por $\frac{10}{11}$ .

$C = 2 + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Etapa 3.7.2

Simplifique $C = 2 + \frac{10}{11}$ .

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Etapa 3.7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.2.1.1

Remova os parênteses.

$C = 2 + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = 2 + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Etapa 3.7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.2.2.1

Simplifique $2 + \frac{10}{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.2.1.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{11}{11}$ .

$C = 2 \cdot \frac{11}{11} + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Etapa 3.7.2.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{11}{11}$ .

$C = \frac{2 \cdot 11}{11} + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Etapa 3.7.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{2 \cdot 11 + 10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Etapa 3.7.2.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.2.1.4.1

Multiplique $2$ por $11$ .

$C = \frac{22 + 10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Etapa 3.7.2.2.1.4.2

Some $22$ e $10$ .

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B + 1$ por $\frac{10}{11}$ .

$A = - (\frac{10}{11}) + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Etapa 3.7.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.4.1

Simplifique $- (\frac{10}{11}) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.4.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = - \frac{10}{11} + \frac{11}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Etapa 3.7.4.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{- 10 + 11}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Etapa 3.7.4.1.3

Some $- 10$ e $11$ .

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Etapa 3.8

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{11}, C = \frac{32}{11}, B = \frac{10}{11}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 13 x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{1}{11}}{x + 1} + \frac{\frac{10}{11 x} + \frac{32}{11}}{x^{2} + 13 x + 1}$

Etapa 5

Combine $\frac{10}{11}$ e $x$ .

$\frac{\frac{1}{11}}{x + 1} + \frac{\frac{10 x}{11} + \frac{32}{11}}{x^{2} + 13 x + 1}$