Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + 6 x + 1}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 6 x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.4.2

Divida $x^{2} + 6 x + 1$ por $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 6 x + 1 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A x + B$ por $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ e $x^{2} + 4$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $x^{2} + 4$ de $(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{(x^{2} + 4) \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{(x^{2} + 4) \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 4)}{1}$

Etapa 1.5.2.2.4

Divida $(C x + D) (x^{2} + 4)$ por $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 4)$

Etapa 1.5.3

Expanda $(C x + D) (x^{2} + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x (x^{2} + 4) + D (x^{2} + 4)$

Etapa 1.5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 4 + D (x^{2} + 4)$

Etapa 1.5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Etapa 1.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.4.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.4.1.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Etapa 1.5.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.5.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Etapa 1.5.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Etapa 1.5.4.1.3

Some $2$ e $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Etapa 1.5.4.2

Mova $4$ para a esquerda de $C x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + 4 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 4$

Etapa 1.5.4.3

Mova $4$ para a esquerda de $D$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + 4 C x + D x^{2} + 4 D$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.1

Mova $B$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + C x^{3} + 4 C x + D x^{2} + B + 4 D$

Etapa 1.6.2

Mova $4 C x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + C x^{3} + D x^{2} + 4 C x + B + 4 D$

Etapa 1.6.3

Mova $A x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = C x^{3} + D x^{2} + A x + 4 C x + B + 4 D$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{3}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = D$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = A + 4 C$

Etapa 2.4

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = B + 4 D$

Etapa 2.5

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Reescreva a equação como $D = 1$ .

$D = 1$

$C = 0$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

Etapa 3.2.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $6 = A + 4 C$ por $0$ .

$6 = A + 4 (0)$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique $A + 4 (0)$ .

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Etapa 3.2.3.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$6 = A + 0$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Etapa 3.2.3.1.2

Some $A$ e $0$ .

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $D$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $A = 6$ .

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Etapa 3.3.2

Substitua todas as ocorrências de $D$ em $1 = B + 4 D$ por $1$ .

$1 = B + 4 (1)$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Etapa 3.4

Resolva $B$ em $1 = B + 4$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $B + 4 = 1$ .

$B + 4 = 1$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Etapa 3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$B = 1 - 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Etapa 3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = - 3 A = 6 D = 1 C = 0$

Etapa 3.6

Liste todas as soluções.

$B = - 3, A = 6, D = 1, C = 0$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 4}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $6$ por $x$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 4}$

Etapa 5.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 4}$

Etapa 5.3

Some $0$ e $1$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4}$