Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x}{x^{2} + 13 x + 36}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} + 13 x + 36$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $36$ e cuja soma é $13$ .

$4, 9$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x}{(x + 4) (x + 9)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 4}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x + 9}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 4) (x + 9)$ .

$\frac{x (x + 4) (x + 9)}{(x + 4) (x + 9)} = \frac{(A) (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 4) (x + 9)}{(x + 4) (x + 9)} = \frac{(A) (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (x + 9)}{x + 9} = \frac{(A) (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x + 9$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 9)}{x + 9} = \frac{(A) (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

Etapa 1.6.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{A (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x + 9)$ por $1$ .

$x = (A) (x + 9) + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + A \cdot 9 + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

Etapa 1.7.3

Mova $9$ para a esquerda de $A$ .

$x = A x + 9 \cdot A + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 9$ .

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Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x = A x + 9 A + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

Etapa 1.7.4.2

Divida $(B) (x + 4)$ por $1$ .

$x = A x + 9 A + (B) (x + 4)$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + 9 A + B x + B \cdot 4$

Etapa 1.7.6

Mova $4$ para a esquerda de $B$ .

$x = A x + 9 A + B x + 4 B$

Etapa 1.8

Mova $9 A$ .

$x = A x + B x + 9 A + 4 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 9 A + 4 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$0 = 9 A + 4 B$

$1 = A + B$

$0 = 9 A + 4 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 9 A + 4 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$0 = 9 A + 4 B$

$A = 1 - B$

$0 = 9 A + 4 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 9 A + 4 B$ por $1 - B$ .

$0 = 9 (1 - B) + 4 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $9 (1 - B) + 4 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = 9 \cdot 1 + 9 (- B) + 4 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$0 = 9 + 9 (- B) + 4 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$0 = 9 - 9 B + 4 B$

$A = 1 - B$

$0 = 9 - 9 B + 4 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $- 9 B$ e $4 B$ .

$0 = 9 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 9 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 9 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 9 - 5 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = 9 - 5 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $9 - 5 B = 0$ .

$9 - 5 B = 0$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$- 5 B = - 9$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 5 B = - 9$ por $- 5$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 5 B = - 9$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 9}{- 5}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 9}{- 5}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 9}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 9}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 9}{- 5}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{9}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{9}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{9}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{9}{5}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{9}{5}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{9}{5}$ .

$A = 1 - (\frac{9}{5})$

$B = \frac{9}{5}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{9}{5})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{5}{5} - \frac{9}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

Etapa 3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{5 - 9}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

Etapa 3.4.2.1.3

Subtraia $9$ de $5$ .

$A = \frac{- 4}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

Etapa 3.4.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{4}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{4}{5}, B = \frac{9}{5}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x + 9}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{4}{5}}{x + 4} + \frac{\frac{9}{5}}{x + 9}$