Pré-cálculo Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 10 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 65 ° \\ C = & 45 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $b$ .

$\frac{\sin (65 °)}{b} = \frac{\sin (45 °)}{10}$

Etapa 3

Resolva a equação para $b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Avalie $\sin (65 °)$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sin (45 °)}{10}$

Etapa 3.1.2

O valor exato de $\sin (45 °)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{10}$

Etapa 3.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{10}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{10}$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 10}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{20}$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$b, 20$

Etapa 3.2.2

Como $b, 20$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $b, 20$ 1) e, depois, o da parte variável $b, 20$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.5

Os fatores primos de $20$ são $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

$20$ tem fatores de $2$ e $10$ .

$2 \cdot 10$

Etapa 3.2.5.2

$10$ tem fatores de $2$ e $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Etapa 3.2.6

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 5$

Etapa 3.2.6.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$20$

Etapa 3.2.7

O fator de $b^{1}$ é o próprio $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.2.8

O MMC de $b^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$b$

Etapa 3.2.9

O MMC de $b, 20$ é a parte numérica $20$ multiplicada pela parte variável.

$20 b$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{20}$ por $20 b$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{20}$ por $20 b$ .

$\frac{0.90630778}{b} (20 b) = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$20 \frac{0.90630778}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $20 \frac{0.90630778}{b}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Combine $20$ e $\frac{0.90630778}{b}$ .

$\frac{20 \cdot 0.90630778}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $20$ por $0.90630778$ .

$\frac{18.12615574}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum de $b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{18.12615574}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Etapa 3.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$18.12615574 = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $20$ de $20 b$ .

$18.12615574 = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 (b))$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$18.12615574 = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$18.12615574 = \sqrt{2} b$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $\sqrt{2} b = 18.12615574$ .

$\sqrt{2} b = 18.12615574$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $\sqrt{2} b = 18.12615574$ por $\sqrt{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $\sqrt{2} b = 18.12615574$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $b$ por $1$ .

$b = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Multiplique $\frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.4.2.3.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.2.1

Multiplique $\frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.4.2.3.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.4.2.3.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.4.2.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.2.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.2.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.2.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.2.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.2.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.2.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.4.2.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.4.2.3.3

Multiplique $18.12615574$ por $\sqrt{2}$ .

$b = \frac{25.63425528}{2}$

Etapa 3.4.2.3.4

Divida $25.63425528$ por $2$ .

$b = 12.81712764$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$A + 45 ° + 65 ° = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Some $45 °$ e $65 °$ .

$A + 110 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $110$ dos dois lados da equação.

$A = 180 - 110$

Etapa 5.2.2

Subtraia $110$ de $180$ .

$A = 70$

Etapa 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 7

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $a$ .

$\frac{\sin (70)}{a} = \frac{\sin (65 °)}{12.81712764}$

Etapa 8

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Avalie $\sin (70)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (65 °)}{12.81712764}$

Etapa 8.1.2

Avalie $\sin (65 °)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{0.90630778}{12.81712764}$

Etapa 8.1.3

Divida $0.90630778$ por $12.81712764$ .

$\frac{0.93969262}{a} = 0.07071067$

Etapa 8.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$a, 1$

Etapa 8.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$a$

Etapa 8.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.93969262}{a} = 0.07071067$ por $a$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.93969262}{a} = 0.07071067$ por $a$ .

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.07071067 a$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.07071067 a$

Etapa 8.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$0.93969262 = 0.07071067 a$

Etapa 8.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Reescreva a equação como $0.07071067 a = 0.93969262$ .

$0.07071067 a = 0.93969262$

Etapa 8.4.2

Divida cada termo em $0.07071067 a = 0.93969262$ por $0.07071067$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Divida cada termo em $0.07071067 a = 0.93969262$ por $0.07071067$ .

$\frac{0.07071067 a}{0.07071067} = \frac{0.93969262}{0.07071067}$

Etapa 8.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.07071067$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.07071067 a}{0.07071067} = \frac{0.93969262}{0.07071067}$

Etapa 8.4.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{0.93969262}{0.07071067}$

Etapa 8.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.3.1

Divida $0.93969262$ por $0.07071067$ .

$a = 13.28926048$

Etapa 9

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 70$

$B = 65 °$

$C = 45 °$

$a = 13.28926048$

$b = 12.81712764$

$c = 10$