Pré-cálculo Exemplos

$\frac{4 x + 3}{x^{2} - 9 x + 20}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} - 9 x + 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 5, - 4$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{4 x + 3}{(x - 5) (x - 4)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 5}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x - 4}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 5) (x - 4)$ .

$\frac{(4 x + 3) (x - 5) (x - 4)}{(x - 5) (x - 4)} = \frac{(A) (x - 5) (x - 4)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 x + 3) (x - 5) (x - 4)}{(x - 5) (x - 4)} = \frac{(A) (x - 5) (x - 4)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(4 x + 3) (x - 4)}{x - 4} = \frac{(A) (x - 5) (x - 4)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 x + 3) (x - 4)}{x - 4} = \frac{(A) (x - 5) (x - 4)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.6.2

Divida $4 x + 3$ por $1$ .

$4 x + 3 = \frac{(A) (x - 5) (x - 4)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$4 x + 3 = \frac{A (x - 5) (x - 4)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x - 4)$ por $1$ .

$4 x + 3 = (A) (x - 4) + \frac{(B) (x - 5) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 3 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x - 5) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.7.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $A$ .

$4 x + 3 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x - 5) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$4 x + 3 = A x - 4 A + \frac{(B) (x - 5) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.7.4.2

Divida $(B) (x - 5)$ por $1$ .

$4 x + 3 = A x - 4 A + (B) (x - 5)$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 3 = A x - 4 A + B x + B \cdot - 5$

Etapa 1.7.6

Mova $- 5$ para a esquerda de $B$ .

$4 x + 3 = A x - 4 A + B x - 5 B$

Etapa 1.8

Mova $- 4 A$ .

$4 x + 3 = A x + B x - 4 A - 5 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = - 4 A - 5 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$4 = A + B$

$3 = - 4 A - 5 B$

$4 = A + B$

$3 = - 4 A - 5 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $4 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 4$ .

$A + B = 4$

$3 = - 4 A - 5 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 4 - B$

$3 = - 4 A - 5 B$

$A = 4 - B$

$3 = - 4 A - 5 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $4 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $3 = - 4 A - 5 B$ por $4 - B$ .

$3 = - 4 (4 - B) - 5 B$

$A = 4 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 4 (4 - B) - 5 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 = - 4 \cdot 4 - 4 (- B) - 5 B$

$A = 4 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$3 = - 16 - 4 (- B) - 5 B$

$A = 4 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$3 = - 16 + 4 B - 5 B$

$A = 4 - B$

$3 = - 16 + 4 B - 5 B$

$A = 4 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $5 B$ de $4 B$ .

$3 = - 16 - B$

$A = 4 - B$

$3 = - 16 - B$

$A = 4 - B$

$3 = - 16 - B$

$A = 4 - B$

$3 = - 16 - B$

$A = 4 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $3 = - 16 - B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 16 - B = 3$ .

$- 16 - B = 3$

$A = 4 - B$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$- B = 3 + 16$

$A = 4 - B$

Etapa 3.3.2.2

Some $3$ e $16$ .

$- B = 19$

$A = 4 - B$

$- B = 19$

$A = 4 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- B = 19$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- B = 19$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{19}{- 1}$

$A = 4 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{19}{- 1}$

$A = 4 - B$

Etapa 3.3.3.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{19}{- 1}$

$A = 4 - B$

$B = \frac{19}{- 1}$

$A = 4 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Divida $19$ por $- 1$ .

$B = - 19$

$A = 4 - B$

$B = - 19$

$A = 4 - B$

$B = - 19$

$A = 4 - B$

$B = - 19$

$A = 4 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 19$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 4 - B$ por $- 19$ .

$A = 4 - (- 19)$

$B = - 19$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $4 - (- 19)$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 19$ .

$A = 4 + 19$

$B = - 19$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $4$ e $19$ .

$A = 23$

$B = - 19$

$A = 23$

$B = - 19$

$A = 23$

$B = - 19$

$A = 23$

$B = - 19$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = 23, B = - 19$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x - 4}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{23}{x - 5} + \frac{- 19}{x - 4}$