Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x}{(x + 2) (x - 4)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 4}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 2) (x - 4)$ .

$\frac{x (x + 2) (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 2) (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (x - 4)}{x - 4} = \frac{(A) (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x - 4)}{x - 4} = \frac{(A) (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{A (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (x - 4)$ por $1$ .

$x = (A) (x - 4) + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.6.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $A$ .

$x = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = A x - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B) (x + 2)$ por $1$ .

$x = A x - 4 A + (B) (x + 2)$

Etapa 1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x - 4 A + B x + B \cdot 2$

Etapa 1.6.6

Mova $2$ para a esquerda de $B$ .

$x = A x - 4 A + B x + 2 B$

Etapa 1.7

Mova $- 4 A$ .

$x = A x + B x - 4 A + 2 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 4 A + 2 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$0 = - 4 A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = - 4 A + 2 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 4 A + 2 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$0 = - 4 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 4 A + 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 4 A + 2 B$ por $1 - B$ .

$0 = - 4 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 4 (1 - B) + 2 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 4 \cdot 1 - 4 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$0 = - 4 - 4 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$0 = - 4 + 4 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 4 + 4 B + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $4 B$ e $2 B$ .

$0 = - 4 + 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 4 + 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 4 + 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 4 + 6 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = - 4 + 6 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 4 + 6 B = 0$ .

$- 4 + 6 B = 0$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$6 B = 4$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $6 B = 4$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $6 B = 4$ por $6$ .

$\frac{6 B}{6} = \frac{4}{6}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 B}{6} = \frac{4}{6}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{4}{6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{4}{6}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

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Etapa 3.3.3.3.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$B = \frac{2 (2)}{6}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$B = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$B = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{2}{3}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{2}{3}$ .

$A = 1 - (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{2}{3})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 3.4.2.1.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 4}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{x + 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x - 4}$