Pré-cálculo Exemplos

$\frac{9 x^{2} - 22 x + 42}{(x - 6) (x^{2} + 3)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 6}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x - 6} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 6) (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(9 x^{2} - 22 x + 42) (x - 6) (x^{2} + 3)}{(x - 6) (x^{2} + 3)} = \frac{(A) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x - 6$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(9 x^{2} - 22 x + 42) (x - 6) (x^{2} + 3)}{(x - 6) (x^{2} + 3)} = \frac{(A) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(9 x^{2} - 22 x + 42) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{(A) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 3$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(9 x^{2} - 22 x + 42) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{(A) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.5.2

Divida $9 x^{2} - 22 x + 42$ por $1$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = \frac{(A) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x - 6$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = \frac{A (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (x^{2} + 3)$ por $1$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = (A) (x^{2} + 3) + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 3$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B x + C) (x - 6)$ por $1$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + (B x + C) (x - 6)$

Etapa 1.6.5

Expanda $(B x + C) (x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x (x - 6) + C (x - 6)$

Etapa 1.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 6 + C (x - 6)$

Etapa 1.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 6 + C x + C \cdot - 6$

Etapa 1.6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.6.6.1.1

Mova $x$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 6 + C x + C \cdot - 6$

Etapa 1.6.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} + B x \cdot - 6 + C x + C \cdot - 6$

Etapa 1.6.6.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $B x$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} - 6 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 6$

Etapa 1.6.6.3

Mova $- 6$ para a esquerda de $C$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} - 6 B x + C x - 6 C$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.1

Mova $B$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} - 6 x B + C x - 6 C$

Etapa 1.7.2

Mova $3 A$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + B x^{2} - 6 x B + C x + 3 A - 6 C$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$9 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 22 = - 6 B + C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$42 = 3 A - 6 C$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$9 = A + B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 3 A - 6 C$

$9 = A + B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 3 A - 6 C$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $9 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 9$ .

$A + B = 9$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 3 A - 6 C$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 3 A - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 3 A - 6 C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $9 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $42 = 3 A - 6 C$ por $9 - B$ .

$42 = 3 (9 - B) - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$42 = 3 \cdot 9 + 3 (- B) - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$42 = 27 + 3 (- B) - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

Etapa 3.3

Reordene $9$ e $- B$ .

$A = - B + 9$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$- 22 = - 6 B + C$

Etapa 3.4

Resolva $C$ em $- 22 = - 6 B + C$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $- 6 B + C = - 22$ .

$- 6 B + C = - 22$

$A = - B + 9$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

Etapa 3.4.2

Some $6 B$ aos dois lados da equação.

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

Etapa 3.5

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- 22 + 6 B$ em cada equação.

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Etapa 3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $42 = 27 - 3 B - 6 C$ por $- 22 + 6 B$ .

$42 = 27 - 3 B - 6 (- 22 + 6 B)$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique $27 - 3 B - 6 (- 22 + 6 B)$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$42 = 27 - 3 B - 6 \cdot - 22 - 6 (6 B)$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Multiplique $- 6$ por $- 22$ .

$42 = 27 - 3 B + 132 - 6 (6 B)$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.5.2.1.1.3

Multiplique $6$ por $- 6$ .

$42 = 27 - 3 B + 132 - 36 B$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = 27 - 3 B + 132 - 36 B$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.5.2.1.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.5.2.1.2.1

Some $27$ e $132$ .

$42 = - 3 B + 159 - 36 B$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.5.2.1.2.2

Subtraia $36 B$ de $- 3 B$ .

$42 = - 39 B + 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = - 39 B + 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = - 39 B + 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = - 39 B + 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = - 39 B + 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.6

Resolva $B$ em $42 = - 39 B + 159$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $- 39 B + 159 = 42$ .

$- 39 B + 159 = 42$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.6.2.1

Subtraia $159$ dos dois lados da equação.

$- 39 B = 42 - 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.6.2.2

Subtraia $159$ de $42$ .

$- 39 B = - 117$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$- 39 B = - 117$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.6.3

Divida cada termo em $- 39 B = - 117$ por $- 39$ e simplifique.

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Etapa 3.6.3.1

Divida cada termo em $- 39 B = - 117$ por $- 39$ .

$\frac{- 39 B}{- 39} = \frac{- 117}{- 39}$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 39$ .

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Etapa 3.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 39 B}{- 39} = \frac{- 117}{- 39}$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.6.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 117}{- 39}$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$B = \frac{- 117}{- 39}$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$B = \frac{- 117}{- 39}$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.3.3.1

Divida $- 117$ por $- 39$ .

$B = 3$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$B = 3$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$B = 3$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$B = 3$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Etapa 3.7

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $3$ em cada equação.

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Etapa 3.7.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $C = - 22 + 6 B$ por $3$ .

$C = - 22 + 6 (3)$

$B = 3$

$A = - B + 9$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.2.1

Simplifique $- 22 + 6 (3)$ .

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Etapa 3.7.2.1.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$C = - 22 + 18$

$B = 3$

$A = - B + 9$

Etapa 3.7.2.1.2

Some $- 22$ e $18$ .

$C = - 4$

$B = 3$

$A = - B + 9$

$C = - 4$

$B = 3$

$A = - B + 9$

$C = - 4$

$B = 3$

$A = - B + 9$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B + 9$ por $3$ .

$A = - (3) + 9$

$C = - 4$

$B = 3$

Etapa 3.7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.4.1

Simplifique $- (3) + 9$ .

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Etapa 3.7.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$A = - 3 + 9$

$C = - 4$

$B = 3$

Etapa 3.7.4.1.2

Some $- 3$ e $9$ .

$A = 6$

$C = - 4$

$B = 3$

$A = 6$

$C = - 4$

$B = 3$

$A = 6$

$C = - 4$

$B = 3$

$A = 6$

$C = - 4$

$B = 3$

Etapa 3.8

Liste todas as soluções.

$A = 6, C = - 4, B = 3$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 6} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{6}{x - 6} + \frac{3 x - 4}{x^{2} + 3}$

Etapa 5

Multiplique $3$ por $x$ .

$\frac{6}{x - 6} + \frac{3 x - 4}{x^{2} + 3}$