Pré-cálculo Exemplos

$\frac{10 x + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1

Fatore $10$ de $10 x + 20$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $10$ de $10 x$ .

$\frac{10 (x) + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $10$ de $20$ .

$\frac{10 x + 10 \cdot 2}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $10$ de $10 x + 10 \cdot 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{10 (x + 2)}{(x^{3} - 2 x^{2}) - 4 x + 8}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{10 (x + 2)}{x^{2} (x - 2) - 4 (x - 2)}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 1.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2^{2})}$

Etapa 1.1.5

Fatore.

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Etapa 1.1.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) ((x + 2) (x - 2))}$

Etapa 1.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.1.6

Combine expoentes.

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Etapa 1.1.6.1

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} (x - 2) (x + 2)}$

Etapa 1.1.6.2

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} (x + 2)}$

Etapa 1.1.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1 + 1} (x + 2)}$

Etapa 1.1.6.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Etapa 1.1.7

Reduza a expressão $\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Etapa 1.1.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 1.5.2

Divida $10$ por $1$ .

$10 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$10 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$10 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ e $x - 2$ .

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Etapa 1.6.2.1

Fatore $x - 2$ de $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Etapa 1.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Etapa 1.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$10 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Etapa 1.6.2.2.4

Divida $B (x - 2)$ por $1$ .

$10 = A + B (x - 2)$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 = A + B x + B \cdot - 2$

Etapa 1.6.4

Mova $- 2$ para a esquerda de $B$ .

$10 = A + B x - 2 B$

Etapa 1.7

Reordene $A$ e $B x$ .

$10 = B x + A - 2 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$10 = A - 2 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $B = 0$ .

$B = 0$

$10 = A - 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $10 = A - 2 B$ por $0$ .

$10 = A - 2 \cdot 0$

$B = 0$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $A - 2 \cdot 0$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$10 = A + 0$

$B = 0$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $A$ e $0$ .

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

Etapa 3.3

Reescreva a equação como $A = 10$ .

$A = 10$

$B = 0$

Etapa 3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = 10 B = 0$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = 10, B = 0$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{0}{x - 2}$