Pré-cálculo Exemplos

$\frac{- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6}{x^{2} (x^{2} + 2)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x^{2} (x^{2} + 2)$ .

$\frac{(- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} (x^{2} + 2)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} (x^{2} + 2)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 2$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.4.2

Divida $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6$ por $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A (x^{2} + 2)$ por $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A (x^{2} + 2) + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + A \cdot 2 + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.5.4.1

Fatore $x$ de $B (x^{2} (x^{2} + 2))$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 2)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 2)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.4.2.3

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.4.2.4

Reescreva a expressão.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + \frac{B (x (x^{2} + 2))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.4.2.5

Divida $B (x (x^{2} + 2))$ por $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x (x^{2} + 2)) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.6

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.6.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.5.6.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x^{1 + 2} + x \cdot 2) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.6.2

Some $1$ e $2$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x^{3} + x \cdot 2) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.7

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x^{3} + 2 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + B (2 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.10

Cancele o fator comum de $x^{2} + 2$ .

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Etapa 1.5.10.1

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.10.2

Divida $(C x + D) (x^{2})$ por $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + (C x + D) (x^{2})$

Etapa 1.5.11

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Etapa 1.5.12

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.12.1

Mova $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Etapa 1.5.12.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.5.12.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Etapa 1.5.12.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Etapa 1.5.12.3

Some $2$ e $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + C x^{3} + D x^{2}$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.1

Mova $B$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 x B + C x^{3} + D x^{2}$

Etapa 1.6.2

Mova $2 A$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + B x^{3} + 2 x B + C x^{3} + D x^{2} + 2 A$

Etapa 1.6.3

Mova $2 x B$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + 2 x B + 2 A$

Etapa 1.6.4

Mova $A x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + 2 x B + 2 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{3}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 2 = B + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$7 = A + D$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 2 B$

Etapa 2.4

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = 2 A$

Etapa 2.5

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$0 = 2 B$

$6 = 2 A$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$0 = 2 B$

$6 = 2 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $B$ em $0 = 2 B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $2 B = 0$ .

$2 B = 0$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $2 B = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $2 B = 0$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{0}{2}$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{0}{2}$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{0}{2}$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$B = \frac{0}{2}$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$B = \frac{0}{2}$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$B = 0$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$B = 0$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$B = 0$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$B = 0$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 2 = B + C$ por $0$ .

$- 2 = (0) + C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Some $0$ e $C$ .

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Etapa 3.2.3

Reescreva a equação como $2 A = 6$ .

$2 A = 6$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

Etapa 3.2.4

Divida cada termo em $2 A = 6$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.4.1

Divida cada termo em $2 A = 6$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{6}{2}$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

Etapa 3.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 A}{2} = \frac{6}{2}$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

Etapa 3.2.4.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{6}{2}$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$A = \frac{6}{2}$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$A = \frac{6}{2}$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

Etapa 3.2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.3.1

Divida $6$ por $2$ .

$A = 3$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$A = 3$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$A = 3$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$A = 3$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $3$ em cada equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $C = - 2$ .

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

$7 = A + D$

Etapa 3.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $7 = A + D$ por $3$ .

$7 = (3) + D$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Remova os parênteses.

$7 = 3 + D$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

$7 = 3 + D$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

$7 = 3 + D$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

Etapa 3.4

Resolva $D$ em $7 = 3 + D$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $3 + D = 7$ .

$3 + D = 7$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

Etapa 3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $D$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$D = 7 - 3$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $3$ de $7$ .

$D = 4$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

$D = 4$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

$D = 4$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

Etapa 3.5

Resolva o sistema de equações.

$D = 4 C = - 2 A = 3 B = 0$

Etapa 3.6

Liste todas as soluções.

$D = 4, C = - 2, A = 3, B = 0$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{3}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{- 2 x + 4}{x^{2} + 2}$