Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2 x + 1}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 x + 1}{x^{2} - 2^{2}}$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.6.2

Divida $2 x + 1$ por $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x + 1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$2 x + 1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.7.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $A$ .

$2 x + 1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$2 x + 1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.7.4.2

Divida $(B) (x + 2)$ por $1$ .

$2 x + 1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Etapa 1.7.6

Mova $2$ para a esquerda de $B$ .

$2 x + 1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Etapa 1.8

Mova $- 2 A$ .

$2 x + 1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$2 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $2 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 2$ .

$A + B = 2$

$1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 2 - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$A = 2 - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $2 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = - 2 A + 2 B$ por $2 - B$ .

$1 = - 2 (2 - B) + 2 B$

$A = 2 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 2 (2 - B) + 2 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = - 2 \cdot 2 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 2 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$1 = - 4 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 2 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$1 = - 4 + 2 B + 2 B$

$A = 2 - B$

$1 = - 4 + 2 B + 2 B$

$A = 2 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $2 B$ e $2 B$ .

$1 = - 4 + 4 B$

$A = 2 - B$

$1 = - 4 + 4 B$

$A = 2 - B$

$1 = - 4 + 4 B$

$A = 2 - B$

$1 = - 4 + 4 B$

$A = 2 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $1 = - 4 + 4 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 4 + 4 B = 1$ .

$- 4 + 4 B = 1$

$A = 2 - B$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$4 B = 1 + 4$

$A = 2 - B$

Etapa 3.3.2.2

Some $1$ e $4$ .

$4 B = 5$

$A = 2 - B$

$4 B = 5$

$A = 2 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $4 B = 5$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $4 B = 5$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 B}{4} = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{5}{4}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 2 - B$ por $\frac{5}{4}$ .

$A = 2 - (\frac{5}{4})$

$B = \frac{5}{4}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $2 - (\frac{5}{4})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$A = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Etapa 3.4.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$A = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Etapa 3.4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{2 \cdot 4 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Etapa 3.4.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.1.4.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$A = \frac{8 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Etapa 3.4.2.1.4.2

Subtraia $5$ de $8$ .

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{3}{4}, B = \frac{5}{4}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{5}{4}}{x - 2}$