Pré-cálculo Exemplos

$\frac{27 - 4 x}{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 9 x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 9 x}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x$ de $9 x$ .

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9}$

Etapa 1.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ .

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 9}$

Etapa 1.1.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 9$ .

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x + 9)}$

Etapa 1.1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x + 3^{2})}$

Etapa 1.1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 1.1.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}$

Etapa 1.1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{27 - 4 x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{C}{x - 3}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{(27 - 4 x) (x {(x - 3)}^{2})}{x {(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(27 - 4 x) (x {(x - 3)}^{2})}{x {(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(27 - 4 x) ({(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de ${(x - 3)}^{2}$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(27 - 4 x) {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.6.2

Divida $27 - 4 x$ por $1$ .

$27 - 4 x = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.7

Reordene $27$ e $- 4 x$ .

$- 4 x + 27 = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$- 4 x + 27 = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.1.2

Divida $A ({(x - 3)}^{2})$ por $1$ .

$- 4 x + 27 = A ({(x - 3)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.2

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$- 4 x + 27 = A ((x - 3) (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.3

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.8.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 x + 27 = A (x (x - 3) - 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 x + 27 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 x + 27 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.8.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.4.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.4.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.4.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 6 x + 9) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 x + 27 = A x^{2} + A (- 6 x) + A \cdot 9 + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.6

Simplifique.

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Etapa 1.8.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + A \cdot 9 + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.6.2

Mova $9$ para a esquerda de $A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.7

Cancele o fator comum de ${(x - 3)}^{2}$ .

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Etapa 1.8.7.1

Cancele o fator comum.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{B (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.7.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Etapa 1.8.8

Cancele o fator comum de ${(x - 3)}^{2}$ e $x - 3$ .

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Etapa 1.8.8.1

Fatore $x - 3$ de $(C) (x {(x - 3)}^{2})$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{x - 3}$

Etapa 1.8.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.8.8.2.1

Multiplique por $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{(x - 3) \cdot 1}$

Etapa 1.8.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{(x - 3) \cdot 1}$

Etapa 1.8.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{C (x (x - 3))}{1}$

Etapa 1.8.8.2.4

Divida $C (x (x - 3))$ por $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x (x - 3))$

Etapa 1.8.9

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 3)$

Etapa 1.8.10

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 3)$

Etapa 1.8.11

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x^{2} - 3 \cdot x)$

Etapa 1.8.12

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C x^{2} + C (- 3 x)$

Etapa 1.8.13

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Etapa 1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.9.1

Mova $A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Etapa 1.9.2

Reordene $B$ e $x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Etapa 1.9.3

Mova $9 A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + B x + C x^{2} - 3 C x + 9 A$

Etapa 1.9.4

Mova $B x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + C x^{2} + B x - 3 C x + 9 A$

Etapa 1.9.5

Mova $- 6 x A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} + C x^{2} - 6 x A + B x - 3 C x + 9 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$27 = 9 A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$27 = 9 A$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$27 = 9 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $27 = 9 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $9 A = 27$ .

$9 A = 27$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $9 A = 27$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $9 A = 27$ por $9$ .

$\frac{9 A}{9} = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 A}{9} = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Divida $27$ por $9$ .

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $3$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + C$ por $3$ .

$0 = (3) + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 4 = - 6 A + B - 3 C$ por $3$ .

$- 4 = - 6 \cdot 3 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

Etapa 3.3

Resolva $C$ em $0 = 3 + C$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $3 + C = 0$ .

$3 + C = 0$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

Etapa 3.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$C = - 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

$C = - 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- 3$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $- 4 = - 18 + B - 3 C$ por $- 3$ .

$- 4 = - 18 + B - 3 \cdot - 3$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 18 + B - 3 \cdot - 3$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$- 4 = - 18 + B + 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $- 18$ e $9$ .

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.5

Resolva $B$ em $- 4 = B - 9$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $B - 9 = - 4$ .

$B - 9 = - 4$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.5.2.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$B = - 4 + 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.5.2.2

Some $- 4$ e $9$ .

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.6

Resolva o sistema de equações.

$B = 5 C = - 3 A = 3$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$B = 5, C = - 3, A = 3$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{C}{x - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{3}{x} + \frac{5}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 3}{x - 3}$