Pré-cálculo Exemplos

$\frac{10 x^{2} + 10 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)$ .

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 3 x + 3$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.5.2

Divida $10 x^{2} + 10 x + 3$ por $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = \frac{A (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (x^{2} + 3 x + 3)$ por $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = (A) (x^{2} + 3 x + 3) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.6.3

Simplifique.

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Etapa 1.6.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.6.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 3 x + 3$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B x + C) (x + 1)$ por $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + (B x + C) (x + 1)$

Etapa 1.6.5

Expanda $(B x + C) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Etapa 1.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Etapa 1.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.6.6.1.1

Mova $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.6.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.6.6.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.6.6.3

Multiplique $C$ por $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.1

Mova $A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.7.2

Reordene $B$ e $x^{2}$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.7.3

Reordene $B$ e $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.7.4

Mova $3 A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + B x + C x + 3 A + C$

Etapa 1.7.5

Mova $3 x A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A + B x + C x + 3 A + C$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$10 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$10 = 3 A + B + C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = 3 A + C$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$10 = A + B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

$10 = A + B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $10 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 10$ .

$A + B = 10$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 10 - B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

$A = 10 - B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $10 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $10 = 3 A + B + C$ por $10 - B$ .

$10 = 3 (10 - B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (10 - B) + B + C$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 = 3 \cdot 10 + 3 (- B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $10$ .

$10 = 30 + 3 (- B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$10 = 30 - 3 B + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 3 B + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $- 3 B$ e $B$ .

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $3 = 3 A + C$ por $10 - B$ .

$3 = 3 (10 - B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 = 3 \cdot 10 + 3 (- B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Etapa 3.2.4.1.2

Multiplique $3$ por $10$ .

$3 = 30 + 3 (- B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Etapa 3.2.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Etapa 3.3

Reordene $10$ e $- B$ .

$A = - B + 10$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

Etapa 3.4

Resolva $C$ em $3 = 30 - 3 B + C$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $30 - 3 B + C = 3$ .

$30 - 3 B + C = 3$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Etapa 3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $30$ dos dois lados da equação.

$- 3 B + C = 3 - 30$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Etapa 3.4.2.2

Some $3 B$ aos dois lados da equação.

$C = 3 - 30 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Etapa 3.4.2.3

Subtraia $30$ de $3$ .

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Etapa 3.5

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- 27 + 3 B$ em cada equação.

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Etapa 3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $10 = 30 - 2 B + C$ por $- 27 + 3 B$ .

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Etapa 3.5.2

Simplifique $10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$ .

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1.1

Remova os parênteses.

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.2.1

Simplifique $30 - 2 B - 27 + 3 B$ .

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Etapa 3.5.2.2.1.1

Subtraia $27$ de $30$ .

$10 = - 2 B + 3 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Some $- 2 B$ e $3 B$ .

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Etapa 3.6

Resolva $B$ em $10 = B + 3$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $B + 3 = 10$ .

$B + 3 = 10$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Etapa 3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.6.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$B = 10 - 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Etapa 3.6.2.2

Subtraia $3$ de $10$ .

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Etapa 3.7

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $7$ em cada equação.

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Etapa 3.7.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $C = - 27 + 3 B$ por $7$ .

$C = - 27 + 3 (7)$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.2.1

Simplifique $- 27 + 3 (7)$ .

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Etapa 3.7.2.1.1

Multiplique $3$ por $7$ .

$C = - 27 + 21$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Etapa 3.7.2.1.2

Some $- 27$ e $21$ .

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B + 10$ por $7$ .

$A = - (7) + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

Etapa 3.7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.4.1

Simplifique $- (7) + 10$ .

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Etapa 3.7.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$A = - 7 + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

Etapa 3.7.4.1.2

Some $- 7$ e $10$ .

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

Etapa 3.8

Liste todas as soluções.

$A = 3, C = - 6, B = 7$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{7 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 5

Multiplique $7$ por $x$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{7 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$