Pré-cálculo Exemplos

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} - 11 x + 7}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 6 \cdot 7 = - 42$ e cuja soma é $b = - 11$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $- 11$ de $- 11 x$ .

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} - 11 (x) + 7}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $- 11$ como $3$ mais $- 14$

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} + (3 - 14) x + 7}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} + 3 x - 14 x + 7}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{41 x - 37}{(- 6 x^{2} + 3 x) - 14 x + 7}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{41 x - 37}{3 x (- 2 x + 1) + 7 (- 2 x + 1)}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 x + 1$ .

$\frac{41 x - 37}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{- 2 x + 1}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{- 2 x + 1} + \frac{B}{3 x + 7}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(- 2 x + 1) (3 x + 7)$ .

$\frac{(41 x - 37) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $- 2 x + 1$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(41 x - 37) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(41 x - 37) (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $3 x + 7$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(41 x - 37) (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Etapa 1.6.2

Divida $41 x - 37$ por $1$ .

$41 x - 37 = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $- 2 x + 1$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$41 x - 37 = \frac{A (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (3 x + 7)$ por $1$ .

$41 x - 37 = (A) (3 x + 7) + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$41 x - 37 = A (3 x) + A \cdot 7 + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Etapa 1.7.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$41 x - 37 = 3 A x + A \cdot 7 + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Etapa 1.7.4

Mova $7$ para a esquerda de $A$ .

$41 x - 37 = 3 A x + 7 \cdot A + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Etapa 1.7.5

Cancele o fator comum de $3 x + 7$ .

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Etapa 1.7.5.1

Cancele o fator comum.

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Etapa 1.7.5.2

Divida $(B) (- 2 x + 1)$ por $1$ .

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + (B) (- 2 x + 1)$

Etapa 1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + B (- 2 x) + B \cdot 1$

Etapa 1.7.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A - 2 B x + B \cdot 1$

Etapa 1.7.8

Multiplique $B$ por $1$ .

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A - 2 B x + B$

Etapa 1.8

Reordene.

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Etapa 1.8.1

Mova $A$ .

$41 x - 37 = 3 x A + 7 A - 2 B x + B$

Etapa 1.8.2

Mova $B$ .

$41 x - 37 = 3 x A + 7 A - 2 x B + B$

Etapa 1.8.3

Mova $7 A$ .

$41 x - 37 = 3 x A - 2 x B + 7 A + B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$41 = 3 A - 2 B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 37 = 7 A + B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$41 = 3 A - 2 B$

$- 37 = 7 A + B$

$41 = 3 A - 2 B$

$- 37 = 7 A + B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $B$ em $- 37 = 7 A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $7 A + B = - 37$ .

$7 A + B = - 37$

$41 = 3 A - 2 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $7 A$ dos dois lados da equação.

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A - 2 B$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A - 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 37 - 7 A$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $41 = 3 A - 2 B$ por $- 37 - 7 A$ .

$41 = 3 A - 2 (- 37 - 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 A - 2 (- 37 - 7 A)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$41 = 3 A - 2 \cdot - 37 - 2 (- 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 37$ .

$41 = 3 A + 74 - 2 (- 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 7$ por $- 2$ .

$41 = 3 A + 74 + 14 A$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A + 74 + 14 A$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $3 A$ e $14 A$ .

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.3

Resolva $A$ em $41 = 17 A + 74$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $17 A + 74 = 41$ .

$17 A + 74 = 41$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $74$ dos dois lados da equação.

$17 A = 41 - 74$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $74$ de $41$ .

$17 A = - 33$

$B = - 37 - 7 A$

$17 A = - 33$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $17 A = - 33$ por $17$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $17 A = - 33$ por $17$ .

$\frac{17 A}{17} = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $17$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{17 A}{17} = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- \frac{33}{17}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $B = - 37 - 7 A$ por $- \frac{33}{17}$ .

$B = - 37 - 7 (- \frac{33}{17})$

$A = - \frac{33}{17}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 37 - 7 (- \frac{33}{17})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 7 (- \frac{33}{17})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$B = - 37 + 7 (\frac{33}{17})$

$A = - \frac{33}{17}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Combine $7$ e $\frac{33}{17}$ .

$B = - 37 + \frac{7 \cdot 33}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Etapa 3.4.2.1.1.3

Multiplique $7$ por $33$ .

$B = - 37 + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Etapa 3.4.2.1.2

Para escrever $- 37$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{17}{17}$ .

$B = - 37 \cdot \frac{17}{17} + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Etapa 3.4.2.1.3

Combine $- 37$ e $\frac{17}{17}$ .

$B = \frac{- 37 \cdot 17}{17} + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Etapa 3.4.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{- 37 \cdot 17 + 231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Etapa 3.4.2.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.1.5.1

Multiplique $- 37$ por $17$ .

$B = \frac{- 629 + 231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Etapa 3.4.2.1.5.2

Some $- 629$ e $231$ .

$B = \frac{- 398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = \frac{- 398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Etapa 3.4.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{398}{17}, A = - \frac{33}{17}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{- 2 x + 1} + \frac{B}{3 x + 7}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{33}{17}}{- 2 x + 1} + \frac{- \frac{398}{17}}{3 x + 7}$