Pré-cálculo Exemplos

$\frac{4}{3 x (5 x + 1)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{5 x + 1}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $3 x (5 x + 1)$ .

$\frac{4 (3 x (5 x + 1))}{3 x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (3 x (5 x + 1))}{3 x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (x (5 x + 1))}{x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x (5 x + 1))}{x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (5 x + 1)}{5 x + 1} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $5 x + 1$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (5 x + 1)}{5 x + 1} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.5.2

Divida $4$ por $1$ .

$4 = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$4 = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $A (3 (5 x + 1))$ por $1$ .

$4 = A (3 (5 x + 1)) + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 = 3 A (5 x + 1) + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 = 3 A (5 x) + 3 A \cdot 1 + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 = 3 \cdot (5 A x) + 3 A \cdot 1 + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.6.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 = 3 \cdot (5 A x) + 3 A + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.6.6

Multiplique $3$ por $5$ .

$4 = 15 A x + 3 A + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.6.7

Cancele o fator comum de $5 x + 1$ .

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Etapa 1.6.7.1

Cancele o fator comum.

$4 = 15 A x + 3 A + \frac{B (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Etapa 1.6.7.2

Divida $(B) (3 x)$ por $1$ .

$4 = 15 A x + 3 A + (B) (3 x)$

Etapa 1.6.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 = 15 A x + 3 A + 3 B x$

Etapa 1.7

Reordene.

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Etapa 1.7.1

Mova $A$ .

$4 = 15 x A + 3 A + 3 B x$

Etapa 1.7.2

Mova $B$ .

$4 = 15 x A + 3 A + 3 x B$

Etapa 1.7.3

Mova $3 A$ .

$4 = 15 x A + 3 x B + 3 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 15 A + 3 B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = 3 A$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = 15 A + 3 B$

$4 = 3 A$

$0 = 15 A + 3 B$

$4 = 3 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $4 = 3 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $3 A = 4$ .

$3 A = 4$

$0 = 15 A + 3 B$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $3 A = 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $3 A = 4$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 A}{3} = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{4}{3}$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 15 A + 3 B$ por $\frac{4}{3}$ .

$0 = 15 (\frac{4}{3}) + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Fatore $3$ de $15$ .

$0 = 3 (5) (\frac{4}{3}) + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$0 = 3 \cdot (5 (\frac{4}{3})) + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$0 = 5 \cdot 4 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 5 \cdot 4 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = 20 + 3 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $20 + 3 B = 0$ .

$20 + 3 B = 0$

$A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$3 B = - 20$

$A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $3 B = - 20$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $3 B = - 20$ por $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - \frac{20}{3} A = \frac{4}{3}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{20}{3}, A = \frac{4}{3}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{5 x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{4}{3}}{x} + \frac{- \frac{20}{3}}{5 x + 1}$