Pré-cálculo Exemplos

$y = {(5 x^{2} + 3)}^{4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 5 x^{2} + 3$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2} + 3$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + 0)$

Etapa 4.2

Some $10 x$ e $0$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $10$ por $4$ .

$40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$

Etapa 5.2

Reordene os fatores de $40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$ .

$40 x {(5 x^{2} + 3)}^{3}$