Pré-cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 2 x^{2} - 8$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = x^{4} - 2 x^{2} - 8$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$ .

$x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 1.2.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - 2 u - 8 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 1.2.3

Fatore $u^{2} - 2 u - 8$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 1.2.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 4) (u + 2) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 2 = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 1.2.6

Defina $u + 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $u + 2$ como igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 4) (u + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 4, - 2$

Etapa 1.2.8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 2$

Etapa 1.2.9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 1.2.10

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.10.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 1.2.10.2

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 1.2.10.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.2.10.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 1.2.10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 1.2.10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 1.2.10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 1.2.11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 2$

Etapa 1.2.12

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = - 2$

Etapa 1.2.12.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 1.2.12.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 1.2.12.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 1.2.12.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 1.2.12.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 1.2.12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 1.2.12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 1.2.12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 1.2.13

A solução para $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$ é $x = 2, - 2, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$ .

$x = 2, - 2, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(2, 0), (- 2, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - 2 \cdot 0^{2} - 8$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$

Etapa 2.2.4

Simplifique ${(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$ .

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 2 {(0)}^{2} - 8$

Etapa 2.2.4.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0 - 8$

Etapa 2.2.4.1.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 8$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 - 8$

Etapa 2.2.4.2.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$y = - 8$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, - 8)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(2, 0), (- 2, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, - 8)$

Etapa 4