Pré-cálculo Exemplos

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$

Etapa 1

Defina $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ como igual a $0$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 256, \pm 2, \pm 128, \pm 4, \pm 64, \pm 8, \pm 32, \pm 16$

Etapa 2.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.00390625, \pm 0.5, \pm 0.0078125, \pm 0.25, \pm 0.015625, \pm 0.125, \pm 0.03125, \pm 0.0625, \pm 81, \pm 0.31640625, \pm 40.5, \pm 0.6328125, \pm 20.25, \pm 1.265625, \pm 10.125, \pm 2.53125, \pm 5.0625, \pm 3, \pm 0.01171875, \pm 1.5, \pm 0.0234375, \pm 0.75, \pm 0.046875, \pm 0.375, \pm 0.09375, \pm 0.1875, \pm 27, \pm 0.10546875, \pm 13.5, \pm 0.2109375, \pm 6.75, \pm 0.421875, \pm 3.375, \pm 0.84375, \pm 1.6875, \pm 9, \pm 0.03515625, \pm 4.5, \pm 0.0703125, \pm 2.25, \pm 0.140625, \pm 1.125, \pm 0.28125, \pm 0.5625$

Etapa 2.1.1.3

Substitua $- 0.75$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.75$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua $- 0.75$ no polinômio.

$256 {(- 0.75)}^{4} + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Etapa 2.1.1.3.2

Eleve $- 0.75$ à potência de $4$ .

$256 \cdot 0.31640625 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $256$ por $0.31640625$ .

$81 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Etapa 2.1.1.3.4

Eleve $- 0.75$ à potência de $3$ .

$81 + 768 \cdot - 0.421875 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Etapa 2.1.1.3.5

Multiplique $768$ por $- 0.421875$ .

$81 - 324 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Etapa 2.1.1.3.6

Subtraia $324$ de $81$ .

$- 243 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Etapa 2.1.1.3.7

Eleve $- 0.75$ à potência de $2$ .

$- 243 + 864 \cdot 0.5625 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Etapa 2.1.1.3.8

Multiplique $864$ por $0.5625$ .

$- 243 + 486 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Etapa 2.1.1.3.9

Some $- 243$ e $486$ .

$243 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Etapa 2.1.1.3.10

Multiplique $432$ por $- 0.75$ .

$243 - 324 + 81$

Etapa 2.1.1.3.11

Subtraia $324$ de $243$ .

$- 81 + 81$

Etapa 2.1.1.3.12

Some $- 81$ e $81$ .

$0$

Etapa 2.1.1.4

Como $- 0.75$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $4 x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81}{4 x + 3}$

Etapa 2.1.1.5

Divida $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ por $4 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

Etapa 2.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $256 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

Etapa 2.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

Etapa 2.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $256 x^{4} + 192 x^{3}$ .

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

Etapa 2.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

Etapa 2.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $576 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $576 x^{3} + 432 x^{2}$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

Etapa 2.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $432 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

Etapa 2.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

Etapa 2.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $432 x^{2} + 324 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

Etapa 2.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

Etapa 2.1.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

Etapa 2.1.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $108 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

Etapa 2.1.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

Etapa 2.1.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $108 x + 81$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

Etapa 2.1.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

$0$

Etapa 2.1.1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27$

Etapa 2.1.1.6

Escreva $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ como um conjunto de fatores.

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27) = 0$

Etapa 2.1.2

Reagrupe os termos.

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $64 x^{3}$ como ${(4 x)}^{3}$ .

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Etapa 2.1.4

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 3^{3} + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Etapa 2.1.5

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 4 x$ e $b = 3$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Etapa 2.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Etapa 2.1.6.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Etapa 2.1.6.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Etapa 2.1.6.4

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Etapa 2.1.6.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $36 x$ de $144 x^{2} + 108 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Fatore $36 x$ de $144 x^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 108 x) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $36 x$ de $108 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 36 x (3)) = 0$

Etapa 2.1.7.3

Fatore $36 x$ de $36 x (4 x) + 36 x (3)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)) = 0$

Etapa 2.1.8

Fatore $4 x + 3$ de $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1

Fatore $4 x + 3$ de $36 x (4 x + 3)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)) = 0$

Etapa 2.1.8.2

Fatore $4 x + 3$ de $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9 + 36 x)) = 0$

Etapa 2.1.9

Some $- 12 x$ e $36 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} + 24 x + 9)) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1.1

Reescreva $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 9)) = 0$

Etapa 2.1.10.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.1.10.1.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$24 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 3$

Etapa 2.1.10.1.4

Reescreva o polinômio.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.1.10.1.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 4 x$ e $b = 3$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2}) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.1.11

Combine como fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1

Eleve $4 x + 3$ à potência de $1$ .

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.1.11.2

Eleve $4 x + 3$ à potência de $1$ .

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.1.11.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(4 x + 3)}^{1 + 1} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.1.11.4

Some $1$ e $1$ .

${(4 x + 3)}^{2} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.1.11.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(4 x + 3)}^{2 + 2} = 0$

Etapa 2.1.11.6

Some $2$ e $2$ .

${(4 x + 3)}^{4} = 0$

Etapa 2.2

Defina $4 x + 3$ como igual a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 3$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $4 x = - 3$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{4}$

Etapa 3