Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$

Etapa 1

Defina $4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$ como igual a $0$ .

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 28 x^{3} + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 7 x$ de $- 28 x^{3} + 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 7 x$ de $- 28 x^{3}$ .

$- 7 x (4 x^{2}) + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 7 x$ de $7 x$ .

$- 7 x (4 x^{2}) - 7 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 7 x$ de $- 7 x (4 x^{2}) - 7 x (- 1)$ .

$- 7 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.1.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$- 7 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.1.6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.1.7

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 u - 12 = 0$

Etapa 2.1.8

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 12 = - 48$ e cuja soma é $b = 47$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1.1

Fatore $47$ de $47 u$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 (u) - 12 = 0$

Etapa 2.1.8.1.2

Reescreva $47$ como $- 1$ mais $48$

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 48) u - 12 = 0$

Etapa 2.1.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

Etapa 2.1.8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

Etapa 2.1.8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 12 (4 u - 1) = 0$

Etapa 2.1.8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 12) = 0$

Etapa 2.1.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.10

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.11

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.12

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.13

Fatore $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.13.1

Fatore $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.13.2

Fatore $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.14

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.15

Fatore $- 7 u + u^{2} + 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.15.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 4, - 3$

Etapa 2.1.15.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

Etapa 2.1.16

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.16.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Etapa 2.1.16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.3

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 4, 3$

Etapa 3